Muitos componentes mecânicos operam em ambientes sujeitos a vibrações, o que provavelmente causará ressonância se os componentes tiverem frequências próprias baixas. Isso pode ter efeitos de gravidade variável, seja um leve incômodo para um acabamento automotivo, erros críticos na fabricação de alta precisão ou uma falha perigosa na engenharia civil. Esta postagem do blog demonstra como maximizar a frequência própria mais baixa usando otimização de forma e topologia para que a probabilidade de ressonância possa ser reduzida. A funcionalidade integrada do COMSOL Multiphysics® o software permite resolver esses problemas com otimização baseada em gradiente.
Introdução à Ressonância Mecânica
Quando um sistema mecânico é excitado por uma força cujo conteúdo de frequência corresponde às frequências naturais do sistema, pode ocorrer ressonância mecânica, levando a vibrações de alta amplitude. Este efeito pode podem ser aproveitados (por exemplo, em relógios e instrumentos musicais), mas nesta postagem do blog focaremos na ressonância indesejada, que pode causar problemas de fadiga em máquinas ou falhas na engenharia civil. Várias medidas podem ser tomadas para mitigar a ressonância, como a instalação de sistemas de isolamento de vibração ativos ou passivos ou a instrução dos usuários para evitarem comportamentos indutores de ressonância. Por exemplo, como pode ser visto na imagem abaixo, uma ponte famosa em Londres inclui uma placa que instrui os soldados a diminuir o passo ao atravessar a ponte – dessa forma, o ritmo unificado da sua marcha não causará ressonância mecânica perigosa.
Outra estratégia para evitar a ressonância mecânica é simplesmente aumentar a frequência natural mais baixa. Aqui, exploraremos como isso pode ser alcançado com otimização.
A Albert Bridge, em Londres, inclui uma placa instruindo os soldados a interromper o passo na ponte para evitar ressonância. Imagem original de Colin Smith, licenciada sob CC BY-SA 2.0 através da Wikimedia Commons.
Introdução à Otimização
Todos os problemas de otimização consistem em algumas variáveis de projeto que devem ser alteradas por um algoritmo de otimização a fim de melhorar uma determinada quantidade – o função objetiva. Também pode haver requisitos onde outras variáveis não podem exceder certos limites, também chamados restrições. No contexto do CAD, o objetivo é frequentemente calculado por meio de simulação.
Para o algoritmo de otimização, pode-se distinguir entre:
- Otimização sem gradiente, onde a otimização utiliza apenas os valores do objetivo e das restrições para atualizar as variáveis de projeto
- Otimização baseada em gradiente, onde a otimização também sabe quão sensíveis são o objetivo e as restrições às mudanças nas variáveis de projeto
A otimização baseada em gradiente possui significativamente mais informações em cada iteração e, portanto, é significativamente mais rápida, especialmente para problemas com muitas variáveis de projeto. A discrepância de velocidade é tão grande que a primeira abordagem é impraticável para a maioria das aplicações de otimização de forma e topologia. COMSOL Multifísica® oferece suporte a ambos os tipos de otimização listados aqui, mas esta postagem do blog se concentrará na otimização baseada em gradiente.
Nos exemplos a seguir, o objetivo é maximizar a frequência própria mínima, mas também se pode maximizar a distância até alguma frequência indesejada que talvez esteja ocorrendo naturalmente no ambiente. Um aspecto recorrente dos problemas de frequência própria é que, embora uma estrutura contenha simetrias de projeto, seus modos próprios podem ser assimétricos. Por esta razão, toda a estrutura deve ser modelada em cada iteração. No entanto, no caso em que o desenho inicial é simétrico, então este pode ser preservado utilizando o Simetria de espelho destaque no Otimização de forma ou Otimização de Topologia interface.
Otimização de forma
O primeiro exemplo é um modelo shell fixado em uma extremidade. A continuidade do vetor normal é preservada usando a regularização baseada em equação diferencial parcial (PDE) para a deformação de contorno, \mathbf{d}semelhante ao filtro Helmholtz usado para otimização de topologia, ou seja,
\mathbf{d} = L_\mathrm{min}^2 \nabla^2 \mathbf{d} + \mathbf{c}, \quad ||\mathbf{c}||\leq d_\mathrm{max},
onde d_\matemática{máx} é o deslocamento máximo, L_\matrm{min} é um comprimento de filtro, d_\mathrm{max}/L_\mathrm{min} é a inclinação máxima da deformação, e \mathbf{c} é o campo variável de controle da deformação limite. Ao realizar a otimização da forma de sólidos, existe também um PDE para a suavização dos elementos interiores, mas na prática, tudo é tratado pelo Domínio de forma livre, Limite de forma livree Concha de forma livre recursos no Otimização de forma interface. Esses recursos permitem apenas otimização baseada em gradiente. Como alternativas à regularização de forma baseada em PDE, também se pode usar uma técnica de regularização polinomial ou fazer alterações simples na geometria, como translação, rotação e dimensionamento. (Saiba mais sobre tradução e dimensionamento em nossa série de duas partes sobre otimização de forma em eletromagnetismo.) A animação abaixo mostra o resultado do uso da regularização baseada em PDE preservando a simetria do design.
O design do shell é animado ao longo do histórico de otimização.
A mudança de modo é feita sempre resolvendo as primeiras seis frequências próprias e usando o método de assíntotas móveis (MMA) para maximizar a frequência própria mínima.
O próximo exemplo considera um suporte sólido, mas a geometria do suporte é semelhante a uma concha, por isso faz sentido preservar a espessura dos braços do suporte. Isto pode ser conseguido através da combinação de um Extrusão Geral operador com um Deformação prescrita recurso (consulte Colchete – Otimização de forma de frequência própria na Galeria de aplicativos para saber mais). Caso contrário, a configuração é semelhante ao modelo anterior em termos de objectivo e aplicação de simetria, mas o design inicial não é tão mau e, portanto, a melhoria é menos dramática (conforme ilustrado abaixo).
Otimização de Topologia
A otimização baseada em gradiente também pode ser aproveitada ao realizar a otimização de topologia, particularmente ao usar o Otimização de Topologia interface no software. Uma introdução detalhada à otimização de topologia pode ser encontrada em nossa postagem do blog “Executando otimização de topologia com o método de densidade”. A idéia básica é introduzir um campo variável de projeto espacialmente variável, \teta_c, que é limitado entre 0 e 1, correspondendo ao material vazio e sólido, respectivamente. Para a mecânica estrutural, pode-se então deixar que a densidade e o módulo de Young (a rigidez) dependam desta variável. A dependência não é explícita, pois é vantajoso regularizar o problema com uma escala de comprimento mínimo, L_\matrm{min}. Também é necessário interpolar a densidade, \rhode uma forma diferente da rigidez, E, para evitar que valores intermediários da variável de projeto dominem o projeto otimizado devido à sua boa relação rigidez-peso. A relação entre o campo da variável de projeto e as propriedades do material é dada por:
\theta_f &=& L_\mathrm{min}^2\nabla^2\theta_f+\theta_c \\
\theta &=& \frac{\tanh (\beta[\theta_f-1/2])+\tanh (\beta/2 )}{2\tanh(\beta/2)} \\
\rho &=& \rho_\mathrm{mat}\theta \\
E &=& E_\mathrm{mat}(\theta_\mathrm{min}+(1-\theta_\mathrm{min})\theta^{p_\mathrm{SIMP}}),
onde \teta_f é a variável de design filtrada, \beta é o parâmetro de inclinação da projeção, e p_\matrm{SIMP} é o parâmetro material isotrópico sólido com penalização (SIMP). Estes parâmetros podem ter uma forte influência no projeto otimizado, portanto, para evitar mínimos locais ruins pode ser necessário resolver o problema de otimização para diversas combinações destes dois parâmetros. Ou seja, uma varredura paramétrica de problemas de otimização é resolvida, conforme ilustrado no exemplo de viga mostrado abaixo. A viga é fixada à esquerda e suporta um peso na extremidade direita, que representa 15% do peso total. A viga está sujeita a uma restrição de volume de 40%. O problema de otimização topológica é resolvido para cinco combinações dos parâmetros (p_\mathrm{SIMP},\beta), igual a (1, 2), (2, 4), (3, 8), (4, 16) e (5, 32). Espera-se baixa conectividade e escala de cinza para as otimizações iniciais, mas esses projetos não físicos fornecem bons projetos iniciais para as otimizações posteriores.
Ao realizar a otimização da topologia, é uma boa prática realizar uma simulação de verificação em uma malha ajustada ao corpo. Isso foi feito na versão Application Gallery deste modelo, e os resultados mostram melhor desempenho em termos de frequências próprias mais altas em relação ao resultado bruto da otimização. Isto é esperado, já que a representação implícita do projeto faz com que o material seja menos rígido próximo à interface sólido-vazio.
Finalmente, um único resultado de otimização é mostrado aqui, mas é fácil gerar projetos alternativos usando valores diferentes para a fração de volume, massa adicionada ou escala de comprimento mínimo.
Conclusão
É possível usar a otimização de forma e topologia para realizar a maximização da frequência própria. As condições de simetria muitas vezes não podem ser impostas à física, mas pode-se restringir a otimização para que um projeto simétrico ainda seja produzido. A estratégia max/min usada para lidar com a comutação de modo também poderia ser aplicada se o objetivo fosse maximizar a distância até uma determinada frequência indesejada.
Para obter experiência prática com maximização de frequência própria, baixe os exemplos mencionados nesta postagem do blog na Galeria de aplicativos: