Streamlines, Streaklines, Timelines e muito mais – Kinematics

introdução

Nesta postagem, exploramos a teoria física abrangente e precisa oferecida pelas equações de Navier-Stokes. Essas equações nos permitem prever uma ampla gama de fenômenos em aerodinâmica, abrangendo até mesmo os fluxos de líquidos como a água. Começamos examinando a representação fundamental da física nessas equações, as suposições necessárias feitas durante seu desenvolvimento e até que ponto elas continuam válidas. Em seguida, nos aprofundamos nos detalhes intrincados das equações e elucidamos seu significado.

A suposição do continuum e o alcance de sua validade

Na formulação NS, o fluido é considerado como uma substância contínua, chamada de continuum, com características físicas locais que podem ser expressas por meio de funções contínuas em termos de espaço e tempo. Essas propriedades contínuas são influenciadas pelas propriedades das moléculas individuais que compõem o gás ou o líquido, bem como pela física subjacente que rege seus movimentos e interações. Entretanto, as propriedades contínuas capturam apenas os efeitos gerais da física subjacente, e não os detalhes específicos. Conforme demonstrado na postagem 1 – Guia introdutório para entender os conceitos fundamentais e as estruturas teóricas e na postagem 2 – O surgimento de fluxos aerodinâmicos a partir do nível molecular, essa abordagem oferece uma representação que não é apenas suficiente, mas também notavelmente precisa em uma ampla gama de condições.

A progressão histórica inicial da formulação NS assumiu um método espontâneo, presumindo o comportamento contínuo desde o início e construindo uma estrutura para os efeitos da viscosidade por meio de experimentos em cenários básicos de fluxo. Uma parte significativa do esforço colocado nessa progressão concentrou-se em estabelecer a estrutura matemática necessária para estender de fluxos simples para outros mais complexos.

O processo de cálculo da média nos fornece definições precisas de quantidades fundamentais de fluxo contínuo, mas não nos leva diretamente à formulação de Navier-Stokes (NS). Quando utilizamos o processo de cálculo da média nas leis fundamentais de conservação de massa, momento e energia, encontramos dois tipos distintos de termos que representam diferentes conjuntos de fenômenos e exigem diferentes suposições:

Primeiro, os termos que incluem apenas as médias simples que definem a densidade, a temperatura e a velocidade do contínuo. Não são necessárias suposições adicionais, pois essas variáveis já formam a base da formulação NS. Esses termos descrevem a taxa de variação do tempo local de uma quantidade conservada ou a convecção de uma quantidade conservada pela velocidade contínua local do fluxo.

Segundo, termos que incorporam médias de produtos de velocidades moleculares ou produtos de um componente de velocidade e a energia cinética. Esses termos significam o transporte de uma quantidade conservada em relação ao movimento contínuo local do fluxo. O transporte de energia térmica corresponde ao fluxo de calor resultante da condução molecular. O transporte de momento imita o efeito de um material contínuo que sofre tensão interna, dando origem à pressão hidrostática contínua local e às “tensões” contínuas adicionais causadas por efeitos viscosos. O processo de cálculo da média, por si só, mantém esses termos em um estado que se baseia em complexidades estatísticas dos movimentos moleculares, exigindo outras suposições simplificadoras para transformá-los em expressões baseadas em nossas variáveis fundamentais de fluxo contínuo.

As equações NS envolvem termos que representam vários fenômenos de transporte, e esses termos têm dependências funcionais diretas das propriedades locais do continuum. A pressão hidrostática é determinada por uma relação termodinâmica de equilíbrio, enquanto o fluxo de calor e as “tensões” viscosas são descritos por expressões de gradiente-difusão, em que o fluxo de uma quantidade conservada é proporcional ao seu gradiente. Os fluidos que apresentam esse tipo de comportamento para tensões viscosas, conforme descrito nas equações NS, são comumente chamados de fluidos newtonianos. No entanto, para chegar a essas formas simplificadas a partir das expressões mais gerais obtidas por meio do processo de cálculo da média, é necessário fazer algumas suposições simplificadoras sobre a física envolvida. No caso dos gases, é necessário supor que o fluido esteja em um estado de equilíbrio termodinâmico local durante todo o tempo. Isso significa que as funções de distribuição de probabilidade para a velocidade molecular, que aparecem nas expressões completas de transporte, devem se assemelhar muito às suas formas de equilíbrio. Para isso, é necessário que mudanças significativas só possam ocorrer em escalas de comprimento e tempo muito maiores do que o caminho e o tempo livres médios. Quando essas condições são atendidas, o que significa que os desvios locais do equilíbrio são pequenos, os termos relacionados ao transporte podem ser representados com precisão pelas relações simples usadas nas equações NS.

Leis de Conversação

As relações fundamentais encontradas nas equações NS são os princípios essenciais de conservação de massa, momento e energia. Para estabelecer um conjunto abrangente de equações, é necessário incluir uma equação de estado que conecte temperatura, pressão e densidade, bem como expressões que definam as demais propriedades do gás.
No âmbito da aerodinâmica, geralmente é uma aproximação razoável assumir a lei do gás ideal, juntamente com uma relação fixa de calores específicos (γ) e coeficientes de viscosidade e condutividade térmica (μ e k) que dependem apenas da temperatura. Pode parecer contraintuitivo que os coeficientes de transporte μ e k sejam considerados independentes da densidade em uma temperatura constante. No entanto, há uma explicação direta para esse fenômeno.
Com o aumento da densidade, pode-se esperar que os coeficientes de transporte aumentem devido à maior massa por unidade de volume que precisa ser transportada em termos de momento e energia térmica. No entanto, à medida que a densidade aumenta, o caminho livre médio molecular diminui, impedindo assim o transporte molecular. No nível de aproximação de gás ideal, os impactos da massa elevada por unidade de volume e do caminho livre médio reduzido se cancelam mutuamente.
Consequentemente, em termos práticos, a eficiência do transporte molecular depende apenas da velocidade média das moléculas ou, em outras palavras, da temperatura. Em determinadas formulações das equações, a velocidade local do som (“a”) é um fator que, no caso de um gás ideal, também depende exclusivamente da temperatura.

A importância das condições de contorno

As equações de Navier-Stokes (NS), como quaisquer outras equações de campo, exigem condições de contorno (BCs) para serem resolvidas adequadamente. Quando se trata de limites de fluxo, em que o fluxo simplesmente entra ou sai do domínio, as próprias equações NS determinam as possíveis combinações de BCs que podem ser impostas e as combinações necessárias para “determinar” a solução de diferentes maneiras. Entretanto, ao lidar com limites que fazem interface com outros materiais, como interfaces gás-sólido ou gás-líquido, as equações NS por si só não definem totalmente a situação. Nesses casos, é necessário introduzir física adicional. Com base em modelos teóricos e evidências experimentais, observou-se que a interação entre a maioria das superfícies líquidas e sólidas encontradas na prática de engenharia e o ar em condições normais é tal que a velocidade e a temperatura do ar se ajustam quase perfeitamente à velocidade e à temperatura da superfície. Portanto, presumir que não há deslizamento (nenhum movimento relativo entre o fluido e o sólido) e que não há salto de temperatura na “parede”, e impor BCs de acordo com isso, é uma aproximação extremamente precisa.

No entanto, é importante interpretar corretamente a BC sem deslizamento. Em algumas descrições, o fluido é descrito como “grudado” ou “aderido” à superfície. Embora essa descrição não seja totalmente inadequada, ela pode ser enganosa, especialmente quando se trata de gases. O termo “adere” implica a presença de uma ligação que pode suportar tanto a tensão quanto o cisalhamento. Entretanto, os gases não podem ser submetidos à tensão e não podem formar ligações resistentes à tensão com outras substâncias. No entanto, a condição de não deslizamento pressupõe que não há deslizamento entre o fluido e o sólido, portanto, em termos de cisalhamento, o fluido se comporta como se estivesse aderindo à superfície.

A condição de não deslizamento é aplicável tanto a líquidos quanto a gases. A explicação para esse fenômeno é mais direta quando se considera os gases. Embora algumas moléculas de gás possam aderir temporariamente a uma superfície sólida ou reagir quimicamente com ela e permanecerem presas, a maioria das moléculas que colidem com a superfície ricocheteia. A condição de não deslizamento é o resultado dessas interações de ricochete. Se imaginarmos as moléculas de gás como esferas lisas que saltam de uma superfície lisa de forma especular sem perder nenhum momento tangencial, não haverá troca de força de cisalhamento entre a superfície e o gás. Consequentemente, o gás deslizaria facilmente ao longo da superfície, e o conceito de uma condição de não deslizamento não existiria. Entretanto, no nível molecular, nenhuma superfície real se comporta como uma superfície perfeitamente lisa. Todas as superfícies reais são compostas de átomos de tamanho semelhante ao das moléculas de gás, o que faz com que até mesmo a superfície mais lisa seja áspera na escala de uma molécula de gás. Além disso, a maioria das superfícies reais apresenta rugosidade significativa em escalas maiores. Como resultado, as moléculas de gás que colidem com superfícies reais ricocheteiam em direções aleatórias, levando a uma velocidade tangencial média muito pequena das moléculas próximas à superfície. Ao aplicar a teoria cinética, é possível estimar a velocidade de deslizamento efetiva, o que demonstra que, em cenários práticos, ela é quase zero. Isso se aplica até mesmo a superfícies que podem parecer suaves ao toque, pois nossa intuição pressupõe incorretamente que o ar pode deslizar livremente sobre elas.

Portanto, nosso modelo físico abrangente compreende as equações NS em conjunto com as condições de limite sem deslizamento e sem salto de temperatura. O escopo dessa formulação é notavelmente extenso, com apenas um número limitado de aplicações práticas de “aerodinâmica” em que ela não é verdadeira. As instâncias que se desviam dessa formulação incluem fluxos de gás em densidades extremamente baixas, como as encontradas em altitudes muito elevadas, bem como a intrincada estrutura interna das ondas de choque. Mesmo nos casos em que a ionização, a dissociação ou as reações químicas ocorrem dentro do fluxo, elas normalmente não são consideradas exceções, pois esses efeitos podem ser integrados à nossa formulação contínua incorporando variáveis apropriadas para a concentração de espécies, taxas de reação e equações de estado. Felizmente, no campo da aerodinâmica, somos poupados das complexidades associadas aos líquidos não newtonianos, que desempenham um papel significativo nos sistemas biológicos e em vários processos industriais.

A incapacidade de nossa formulação NS de ser aplicável em circunstâncias excepcionais pode não ser atribuída apenas às densidades extremamente baixas em altas altitudes ou às pequenas escalas de comprimento em problemas de ondas de choque que fazem com que nosso processo de cálculo de média não consiga convergir. Embora essa situação possa ocorrer, ela nem sempre é a principal causa da “falha”. Para obter a convergência de uma média espacial em um momento específico no tempo, seria necessário integrar um volume suficientemente grande que englobasse um número significativo de moléculas. As médias espaciais instantâneas podem não capturar com precisão a estrutura interna de uma onda de choque, por exemplo. No entanto, em muitos casos, os fluxos são quase estáveis, o que nos permite definir médias em pequenos volumes espaciais, calculando a média em um período prolongado. A maioria das situações que envolvem voos em altitudes extremas ou física detalhada de ondas de choque pode ser tratada com essa abordagem. Nesses casos, a falha de nossa formulação contínua não se deve à incapacidade de convergência de nosso processo de cálculo de média, mas sim à quebra da suposição de equilíbrio termodinâmico local que sustenta nossa modelagem dos efeitos de “transporte” quando os gradientes de fluxo se tornam significativos na escala de um caminho livre de média. Além disso, os erros associados às condições de limite sem deslizamento e sem salto de temperatura, que normalmente são insignificantes em condições normais, tornam-se frações mais significativas das diferenças nas quantidades de fluxo no campo em condições extremas, levando também à quebra dessas aproximações.

Vamos fazer um pouco de matemática formal

Vamos agora examinar alguns dos desafios que surgem quando tentamos expressar nossa compreensão da física em termos matemáticos. Nossa formulação final consistirá em um conjunto de equações de campo diferenciais parciais (PDEs), acompanhadas de determinadas relações algébricas auxiliares. A escolha das variáveis, bem como a determinação de quais variáveis são independentes e quais são dependentes, depende de como optamos por descrever o fluxo. Temos a opção de descrevê-lo em termos do comportamento observado em pontos fixos no espaço e no tempo, conhecido como descrição euleriana, ou podemos definir os caminhos seguidos por parcelas fixas de fluido à medida que evoluem ao longo do tempo, o que é chamado de formulação lagrangiana. Na descrição euleriana, o tempo e as coordenadas em um quadro de referência espacial, que pode ou não ser inercial, servem como variáveis independentes, enquanto a velocidade, a pressão e outras variáveis de estado do fluido são consideradas dependentes. Por outro lado, na descrição lagrangiana, as variáveis independentes pertencem às próprias parcelas de fluido, normalmente identificadas por suas coordenadas espaciais em um momento inicial, e as variáveis dependentes incluem as coordenadas espaciais dessas parcelas em momentos subsequentes. Embora esses dois modos de descrição sejam teoricamente equivalentes, no sentido de que podem ser empregados para modelar com precisão a mesma física, eles diferem de forma tão significativa em sua abordagem que não são intercambiáveis na prática.

A estrutura euleriana é comumente preferida para várias aplicações devido à sua conveniência, servindo de base para a maioria dos estudos quantitativos em aerodinâmica teórica e dinâmica de fluidos computacional (CFD). Essa preferência pode ser atribuída ao fato de que a descrição euleriana oferece uma abordagem mais intuitiva para a análise de fluxos estáveis, que são a principal preocupação em aerodinâmica. Embora a descrição euleriana seja utilizada em modelagem conceitual de alto nível, há casos em que a descrição lagrangiana também é útil na discussão de princípios físicos fundamentais.

A derivada lagrangiana, denotada pela letra maiúscula D/Dt, representa a taxa de mudança de tempo de qualquer quantidade física associada a uma parcela de fluido lagrangiano. Essa taxa de mudança é influenciada por dois efeitos na estrutura euleriana. Em primeiro lugar, a quantidade pode mudar com o tempo nos pontos do espaço pelos quais a parcela se move, indicado pelo termo de fluxo instável ∂/∂t ou pela taxa de mudança Euleriana. Em segundo lugar, se a parcela se mover com velocidade V por um campo não uniforme, ela experimentará uma taxa de variação V – ∇ além do termo de fluxo instável. Portanto, a derivada lagrangiana está conectada às derivadas na estrutura euleriana. Em termos gerais, a derivada lagrangiana está conectada às derivadas no quadro euleriano por meio da equação (para a velocidade):

A aplicação dessa transformação à velocidade do fluido produz resultados intrigantes, especialmente ao determinar a aceleração lagrangiana. No caso de um fluxo constante 1D, a aplicação da equação acima mencionada à velocidade resulta em uma redução:

Pode-se observar que uma aceleração específica do material Du/Dt requer um gradiente espacial significativo ∂u/∂x quando a velocidade u é pequena, ao passo que apenas um pequeno ∂u/∂x é necessário quando u é grande. Esse fenômeno decorre do movimento de uma parcela de fluido lagrangiano dentro do campo de velocidade.

Um dos desafios da matemática decorre da presença de vetores e tensores entre as quantidades com as quais precisamos lidar. A velocidade, por exemplo, é um vetor, e a equação para a conservação do momento é uma equação vetorial. No espaço tridimensional, isso leva a três variáveis e três equações, o que torna relativamente fácil a compreensão intuitiva.

A questão de representar a transferência de forças por meio do “contato” entre parcelas de fluido vizinhas não é imediatamente óbvia. Do ponto de vista físico, essas forças surgem da transferência de momento por meio de movimentos moleculares. Entretanto, na formulação contínua, os efeitos cumulativos de vários movimentos moleculares são representados como tensões internas aparentes dentro do fluido ou como forças exercidas por unidade de área ao longo do limite de uma parcela.

O desafio matemático que encontramos diz respeito à questão abrangente de representar o estado de tensão em um material contínuo. Inicialmente, precisamos nos familiarizar com o conceito de limites hipotéticos que separam porções vizinhas do material. Em seguida, precisamos visualizar mentalmente como duas porções adjacentes do material exercem tensões iguais e opostas uma sobre a outra ao longo da superfície de limite compartilhada. Nossa explicação deve ter a capacidade de determinar com precisão o estado de tensão em qualquer ponto do fluido, levando em conta a magnitude apropriada das forças opostas, independentemente da orientação do limite hipotético. A tensão, nesse contexto, refere-se a uma quantidade vetorial que denota a força por unidade de área, que é contingente à orientação de uma superfície divisória imaginária. Essa superfície divisória pode ser definida pela direção de seu vetor normal.

A tensão é um tensorO que levou ao desenvolvimento da análise tensorial, um campo da matemática dedicado a fornecer métodos rigorosos para a manipulação dessas quantidades. Essa estrutura matemática não é aplicável apenas à mecânica contínua, mas também a vários ramos da física. Juntamente com a análise tensorial, foram criadas notações abreviadas para expressar essas manipulações de forma eficiente. A notação tensorial oferece a abordagem mais confiável para lidar com termos de tensão e termos de convecção em equações, especialmente ao transformá-las em diferentes sistemas de coordenadas. Embora seja possível realizar essas manipulações sem a notação tensorial, a probabilidade de erros aumenta significativamente. Independentemente do uso da notação tensorial, essas manipulações rapidamente se tornam exercícios de manipulação de símbolos, o que torna difícil manter uma compreensão clara de seu significado físico.

Até agora, falamos sobre as equações NS apenas em sua forma local ou diferencial,
que é a forma que se relaciona mais diretamente com a maioria de nossas discussões posteriores.
No entanto, em alguns aplicativos, uma visão mais global do fluxo é suficiente e pode ser mais fácil de
lidar com ela. Para essas situações, temos a forma de volume de controle das equações, na qual
as equações foram integradas em um volume e nas superfícies que delimitam o volume.
As equações do volume de controle são “exatas” no sentido de que não há perda de precisão
em relação às equações diferenciais, mas são “simplificadas” no sentido de que podem dizer
nos dizem apenas o que acontece com as quantidades integradas e nada sobre como as quantidades locais são
distribuídas sobre o volume e as superfícies delimitadoras.

Nas abordagens convencionais das equações NS, todas as variáveis de fluxo apresentam continuidade e diferenciabilidade, mesmo na presença de choques. Essa característica vantajosa nos permite aproveitar princípios matemáticos significativos sem a necessidade de incorporar quaisquer considerações “físicas”. Consequentemente, isso nos leva a aprofundar o assunto da seção seguinte.

Cinemática 1: Linhas de fluxo e linhas de fuga

A utilização de descrições cinemáticas é fundamental para a compreensão dos campos de fluxo. É imperativo compreender a estrutura cinemática de um fluxo para se aprofundar na dinâmica fundamental em jogo. As características da estrutura cinemática de um campo de fluxo são inerentemente vinculadas à natureza do campo de velocidade como um campo vetorial contínuo.
Dois conceitos cinemáticos comumente usados são linhas de fluxo e linhas tracejadas. As linhas de fluxo são curvas espaciais em 3D que são paralelas ao vetor de velocidade em cada ponto. Por outro lado, as linhas de fluxo também são curvas espaciais em 3D, mas são definidas pelas posições de uma série de parcelas de fluido que passaram por um “ponto de origem” específico em algum lugar a montante no campo de fluxo. Embora o ponto de origem de uma linha de fluxo seja normalmente considerado um ponto fixo no espaço, também é possível permitir que ele se mova com o tempo. É importante observar que uma linha de fluxo é uma construção matemática que só pode ser definida por meio da solução de um problema matemático, especificamente pela construção de uma curva paralela a um determinado campo vetorial. Por outro lado, uma streakline pode ser observada, pelo menos até certo ponto, em fluxos reais que são marcados por um contaminante passivo, como corante em líquidos ou fumaça no ar.
No caso de um fluxo constante, as linhas de fluxo e as linhas de raia originadas de pontos específicos se alinharão e corresponderão aos caminhos de partículas individuais, conhecidas como parcelas Lagrangianas. Apesar da constância do fluxo, ainda pode haver complexidades intrigantes na decifração dos padrões de fluxo.
Linhas do tempo são as linhas formadas por um conjunto de partículas fluidas que foram marcadas em um instante anterior no tempo, criando uma linha ou curva que é deslocada no tempo à medida que as partículas se movem.

No caso de um fluxo instável, a complexidade da situação aumenta significativamente, resultando em variações distintas nas linhas de fluxo, linhas de raia e caminhos de partículas. A simples observação do padrão formado por qualquer um desses elementos fornece uma representação inadequada e muitas vezes enganosa do fluxo. As figuras abaixo ilustram as aparências contrastantes do fluxo instável na esteira de um cilindro circular quando representadas em termos de linhas de raia (a) e linhas de fluxo (b). Além disso, as linhas de tempo (c), que serão definidas em breve, oferecem uma perspectiva totalmente diferente.

Cinemática 2: Tubos de fluxo, superfícies de fluxo e a função de fluxo

O conceito de um tubo de fluxo é normalmente aplicado exclusivamente a fluxos constantes. A tubo de fluxo é definido por uma curva fechada no campo de fluxo, com linhas de fluxo constantes ou linhas de raia passando por todos os pontos da curva. Essa curva fechada forma o limite de um tubo curvilíneo, com a superfície delimitadora sendo paralela ao vetor de velocidade. Como resultado, nenhuma parcela de fluido contínuo passa por essa superfície. Em um fluxo estável, de acordo com o princípio da continuidade, o fluxo de massa em um tubo de fluxo permanece constante em qualquer seção transversal ao longo de seu comprimento. Em um campo de fluxo bidimensional, ainda podemos definir um tubo de fluxo da mesma forma que em três dimensões, usando uma curva fechada para estabelecer o limite. Entretanto, uma definição mais prática é permitir que a curva fechada que define o tubo de fluxo se degenere em dois pontos. Isso transforma o tubo de fluxo em uma camada bidimensional de fluxo, definida por uma linha de fluxo que passa por cada ponto.

A superfície de contorno de um tubo de fluxo representa uma instância específica do conceito mais amplo de uma superfície de fluxo, normalmente associada a fluxos constantes. A curva no espaço que dá origem a uma superfície de fluxo não precisa ser necessariamente uma curva fechada, e a superfície de fluxo resultante não precisa formar um tubo fechado. Uma superfície de fluxo geral é uma superfície pela qual nenhuma parcela de fluido contínuo passa. Em fluxos tridimensionais, as superfícies de fluxo que inicialmente parecem planas podem se tornar altamente distorcidas à medida que o fluxo avança a jusante. O conceito de uma função de fluxo é aplicável somente a fluxos bidimensionais. Ao considerar dois pontos A e B em um fluxo bidimensional, o fluxo de massa em qualquer curva que conecte esses pontos depende apenas das posições dos pontos e do tempo, supondo que o fluxo seja incompressível ou estável. Por exemplo, no cenário descrito na figura abaixo, o fluxo de massa ao longo de qualquer contorno que conecte os pontos corresponde ao fluxo de massa dentro da área sombreada tubo de fluxo. Consequentemente, se o ponto A for fixo, o fluxo de massa calculado dessa maneira para todos os outros pontos B define uma função única conhecida como função de fluxo. Consequentemente, a função de fluxo permanece constante ao longo das linhas de fluxo, e a discrepância em seu valor entre duas linhas de fluxo equivale ao fluxo de massa dentro do tubo de fluxo delimitados por eles. A função de fluxo era utilizada com mais frequência no passado do que atualmente. Ela era frequentemente empregada em discussões teóricas anteriores sobre fluxos incompressíveis e ocasionalmente utilizada em técnicas numéricas para resolver as equações de Navier-Stokes em duas dimensões.

Cinemática 3: Linhas do tempo

As linhas do tempo são um conceito cinemático valioso que encontra sua aplicação mais comum em fluxos 2D, embora possam ser definidas em qualquer tipo de fluxo, seja ele estável ou instável. O processo de definição de uma linha do tempo começa com a marcação de uma série de parcelas de fluido Lagrangiano dispostas ao longo do fluxo em um momento inicial específico. Posteriormente, uma linha do tempo é formada traçando o caminho dessas parcelas em um momento posterior no tempo. As linhas do tempo se mostram particularmente úteis quando estabelecidas como uma coleção de várias linhas, com o momento inicial de cada linha separado por intervalos de tempo iguais. Em cenários práticos, as linhas do tempo podem ser aproximadas por marcadores de contaminantes passivos, normalmente originados de um fio fino esticado ao longo do fluxo. No caso de fluxos de ar, o fio é revestido com óleo, e uma corrente elétrica pulsada aplicada ao fio gera rajadas curtas de fumaça, que servem como marcadores para as linhas de fluxo cruzado que se movem a jusante. Nos fluxos de água, os pulsos elétricos podem gerar linhas compostas de pequenas bolhas de hidrogênio ou oxigênio, marcando efetivamente o fluxo.

A figura abaixo serve como exemplo ilustrativo de linhas de tempo em uma camada limite turbulenta, destacando uma característica crucial das linhas de tempo em fluxos turbulentos:

Em uma camada limite totalmente turbulenta, a magnitude das flutuações de velocidade turbulenta não é uma fração significativa da velocidade média. Consequentemente, as linhas do tempo mais jovens situadas perto da borda esquerda da imagem mantêm um senso de ordem e gradualmente acumulam distorções, assemelhando-se a um fluxo mais suave em comparação com o restante da fotografia. À medida que o fluxo progride da esquerda para a direita, essas distorções se acumulam até que a metade direita da imagem retrata uma coleção caótica e desordenada de linhas do tempo que estão inteiramente dentro da camada limite. Nesse fluxo totalmente turbulento, a representação da linha do tempo sugere falsamente uma intensidade crescente de movimentos turbulentos da esquerda para a direita.

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