Цель этой заметки — не математический вывод уравнений, а краткое, интуитивное объяснение значений различных терминов в уравнениях. Кроме того, мы стремимся проанализировать некоторые общие концепции, которые можно вывести из уравнений относительно характеристик потоков.
Фундаментальные уравнения, которые мы используем, представляют собой принципы сохранения массы, импульса и энергии. Эти принципы наиболее эффективно формулируются и осмысливаются в системе отсчета Лагранжа, где мы изображаем движение относительно траекторий неизменных частиц жидкости по мере их продвижения во времени.
Тем не менее, эйлерова система отсчета, которая предполагает описание потока при его прохождении через точки в пространственной системе отсчета, не зависящей от жидкости, в конечном итоге является предпочтительным вариантом как по концептуальным, так и по количественным причинам. В этом контексте я буду использовать метод, который заключается в кратком объяснении значения законов сохранения в лагранжевой системе отсчета перед переходом к обсуждению того, как они формулируются в эйлеровой системе.
И в лагранжевой, и в эйлеровой перспективе мы будем рассматривать поведение малых объемов жидкости, хотя в каждом случае будут использоваться разные определения. Вывод наших законов сохранения в виде уравнений в частных дифференциальных числах (УЧДУ) влечет за собой формальный процесс приближения к бесконечно малым размерам для наших объемов жидкости. Хотя мы не будем углубляться в специфику этой процедуры в данном обсуждении, читателю важно помнить, что частицы жидкости в любой системе отсчета должны быть концептуализированы как произвольно малые.
Лэмб (1932) дает определение фиксированной лагранжевой посылки жидкости, утверждая, что она состоит исключительно из одних и тех же частиц жидкости в течение всего времени. Для того чтобы поддерживать это постоянство, граничная поверхность посылки должна двигаться вместе с жидкостью таким образом, чтобы предотвратить прохождение через нее любых частиц жидкости. Однако важно признать, что эта концепция является идеализацией, которая справедлива только для нашего концептуального континуального мира. В реальности молекулы неизбежно будут диффундировать через такую границу в обоих направлениях, и лучшее, что мы можем сделать, — это обеспечить, чтобы граница следовала за средним движением жидкости, в результате чего через нее не будет проходить чистый поток вещества. Независимо от выбранной точки зрения, посылка всегда будет содержать одно и то же количество материала и не будет иметь чистого потока материала через ее граничную поверхность. Такой подход, не учитывающий массовую диффузию, хорошо подходит для одновидовых или многовидовых жидкостей, в которых относительная концентрация видов остается постоянной. Однако если относительные концентрации видов существенно меняются, определение лагранжевой посылки жидкости становится проблематичным. На данный момент мы не будем обращать внимания на это незначительное ограничение лагранжева описания и продолжим наше обсуждение.
Как уже говорилось, законы сохранения устанавливаются для массы, импульса и энергии. Причина в том, что эти величины являются фундаментальными в физике и термодинамике, что требует их сохранения. В отличие от давления или вязких напряжений, для которых законы сохранения не действуют в силу их природы. Масса, импульс и энергия неразрывно связаны с материалом жидкости и конвектируют вместе с ним. Эти конвективные величины связаны с лагранжевыми участками жидкости, что означает, что любое изменение величины в пределах участка может происходить только за счет физических процессов внутри участка или на его границах. Законы сохранения служат для количественной оценки этих изменений, обеспечивая основу для понимания сохранения массы, импульса и энергии в лагранжевой перспективе.
Непрерывность потока — наше сохранение массы
Согласно нашему точному определению посылки жидкости в лагранжевом описании, сохранение массы внутри посылки гарантировано изначально. Тем не менее, уравнение, отвечающее за явное обеспечение сохранения массы, должно выполнять дополнительные функции. Уравнение неразрывности устанавливает связь между плотностью жидкости в различных точках и занимаемым ею объемом, удовлетворяя тем самым двум важнейшим критериям:
- Сохранение массы является фундаментальным принципом в каждой лагранжевой посылке, в соответствии с ее определенными характеристиками.
- Между лагранжевыми посылками нет пустых пространств, а соседние посылки не пересекаются. Важно рассматривать весь объем жидкости как полностью заполненный лагранжевыми посылками, которые сохраняют массу.
Уравнение непрерывности в лагранжевом описании можно легко понять в физическом смысле: Когда объем посылки жидкости изменяется, плотность жидкости также должна изменяться, чтобы поддерживать постоянную массу посылки.
Хотя основа уравнения неразрывности физическая (требования 1 и 2 выше), требования, которые оно накладывает на поток, не столь прямые в причинно-следственном смысле, как те, которые накладывают другие уравнения. Например, в уравнении сохранения импульса. силы непосредственно вызывают ускорения; а в уравнении сохранения энергии.
Силы, действующие на частицы жидкости, и сохранение момента импульса
В системе отсчета Лагранжа сохранение импульса явно обеспечивается вторым законом Ньютона, F = ma. Наша лагранжева посылка жидкости обладает постоянной массой, и ее ускорение определяется суммарным эффектом действующих на нее сил.
На посылку могут действовать внешние силы тела, такие как гравитационные и электромагнитные, но в аэродинамике эти силы обычно считаются несущественными. Основное внимание уделяется силам, действующим на поверхность посылки со стороны соседних посылок. Согласно третьему закону Ньютона, эти поверхностные силы должны быть равны и противоположны по всей общей границе. Эти силы называются видимыми внутренними «напряжениями» жидкости. Следует признать, что в идеализированном мире континуума эти напряжения можно рассматривать как распределенные, в то время как в реальности они являются лишь кажущимися напряжениями, возникающими в результате передачи импульса из-за движения молекул. Тем не менее, в дальнейшем мы будем рассматривать их как реальные напряжения.
В предыдущих постах рубрики «Все о CFD» — «Основы аэродинамики» в ходе обсуждения мы рассмотрели концепцию представления этих напряжений в виде тензора. Такой подход оказывается выгодным, когда речь идет о математических манипуляциях. Однако для физического понимания более интуитивно понятным является представление в виде векторов сил. Сжав тензор напряжений с единичным вектором, нормальным к гипотетической границе между участками, мы получим вектор, представляющий силу на единицу площади, действующую через границу. Более того, мы можем разложить этот вектор на две компоненты: одну, перпендикулярную границе, и другую, параллельную ей. В контексте уравнений НС перпендикулярная составляющая принимается за местное гидростатическое давление, часто называемое статическим давлением. С другой стороны, параллельная составляющая известна как напряжение сдвига, которое возникает исключительно из-за влияния вязкости.
Понимание давления на интуитивном уровне сопряжено с трудностями из-за его природы, присущей механике сплошной жидкости. Давление можно представить как нормальное напряжение, действующее на гипотетические границы, охватывающие определенную точку в пространстве.
Несмотря на то, что давление является скалярной величиной, оно действует равномерно во всех направлениях в данной точке. Поначалу осмысление этой концепции может быть затруднено. Некоторые комментаторы, например Андерсон и Эберхардт (2001), ошибочно определяют статическое давление как «давление, измеренное параллельно потоку».
Однако такое описание противоречит истинной сути давления, которое не зависит от направления потока и действует равномерно во всех направлениях. Более интуитивный подход к пониманию давления предполагает рассмотрение его воздействия на небольшую, но конечную порцию жидкости. В поле постоянного давления этот участок сталкивается с равными внутренними силами со стороны окружающей жидкости во всех направлениях.
Чтобы вызвать какое-либо ускорение в посылке, суммарные напряжения, действующие на все стороны посылки, должны привести к ненулевой векторной сумме, что свидетельствует о наличии несбалансированной силы. Напряжения на противоположных сторонах посылки действуют в противоположных направлениях и аннулируют друг друга, если их величины равны. В поле с постоянным давлением нормальные напряжения аннулируют друг друга, что не приводит к появлению неуравновешенной силы. Чтобы возникла неуравновешенная сила, величины напряжений на противоположных сторонах посылки должны быть разными, что требует неоднородного давления или вязкого напряжения.
Следовательно, неуравновешенная сила зависит не от напряжения как такового, а от градиента напряжения, который в контексте давления обозначается ∇p. Как правило, речь идет о неоднородном потоке жидкости. Учитывая, что силы зависят от движения участка жидкости и соседних участков, причинно-следственная связь между напряжениями и скоростями становится круговой, что вносит дополнительную сложность в наш анализ. Эта тема будет более подробно рассмотрена в одном из следующих выпусков нашей серии «Все о CFD», посвященной «Основам аэродинамики».
Ускорение посылки определяется уравнением импульса, поэтому, чтобы определить скорость посылки, необходимо проинтегрировать это уравнение. В последующих разделах серии будет показано, как интегрирование уравнения импульса для установившегося потока невязкой жидкости приводит к уравнению Бернулли, очень ценному соотношению потока.