Хитросплетения поля вихря

Join the forum for Designers!

Your expertise is vital to the community. Join us and contribute your knowledge!

Share, learn and grow with the best professionals in the industry.

Мы обладаем целым рядом концепций, которые оказываются ценными при рассмотрении распределения вихря в поле течения. Вначале мы сосредоточимся на тех понятиях, которые применимы к типичному реалистичному сценарию, когда вихрь распределен непрерывно.
В любой области, где вихрь не равен нулю, можно определить вихревую линию как пространственную кривую, идущую параллельно вектору вихря. Это аналогично тому, как линия обтекания совпадает с вектором скорости. Следовательно, в поле вихря линия вихря похожа на линию потока в поле скорости. Точно так же, как мы расширили понятие линии потока, включив в него трубу потока, мы можем расширить понятие вихревой линии, включив в него вихревую трубу.

Поток вихря через границу вихревой трубы по своей природе равен нулю в соответствии с ее определением. Более того, дивергенция завитка вектора, в частности скорости (завиток которой представляет собой вихрь), равна нулю в соответствии с векторным тождеством. Следовательно, поток остается постоянным в любом поперечном сечении трубы, независимо от его положения по длине.

Постоянство потока вихря внутри вихревой трубы определяет изменения в величине вихря, которые должны сопровождать растяжение вихря. Когда площадь поперечного сечения вихревой трубы уменьшается, будь то с течением времени или по длине, сила вихря (величина вектора вихря) должна усиливаться. В случае сегмента вихревой трубы, содержащего фиксированное количество жидкости, уменьшение площади поперечного сечения обычно требует увеличения длины, или растяжения. Это растяжение особенно необходимо, если плотность жидкости остается постоянной, как мы рассмотрим позже в связи с сохранением массы. Следовательно, растяжение вихревой трубы обычно увеличивает локальную величину вихря.

Постоянство потока вихря в вихревой трубе обусловливает необходимость изменения величины вихря при растяжении вихря. Когда площадь поперечного сечения вихревой трубы уменьшается, будь то с течением времени или по длине, интенсивность вихря (величина вектора вихря) должна увеличиваться. Для того чтобы вместить уменьшенную площадь поперечного сечения в определенный объем жидкости, обычно требуется увеличение длины или растяжение.

Вихревая нить — это тонкая вихревая трубка с чрезвычайно малым максимальным размером в поперечном сечении. Площадь поперечного сечения вихревой нити также бесконечно мала, однако предполагается, что она изменяется по длине нити, что позволяет ей соответствовать критериям вихревой трубы. В случае вихревой нити поток вихря через поперечное сечение равен произведению величины вихря и площади поперечного сечения, что называется интенсивностью нити. Важно отметить, что такое определение интенсивности, как потока вихря через бесконечно малую площадь, отличается от других привычных понятий интенсивности, таких как интенсивность светового луча, которая определяется как поток энергии на единицу площади. Вторая теорема Гельмгольца утверждает, что интенсивность вихревой нити остается постоянной по всей ее длине. Сохранение интенсивности подразумевает, что вихревая нить не может заканчиваться внутри области жидкости, а должна либо образовывать замкнутую петлю (вихревую петлю), либо заканчиваться на границе области.

В зависимости от характеристик границы будут наложены ограничения на возможные способы, которыми вихревые нити или вихревые линии могут заканчиваться на ней. Сначала рассмотрим уникальный сценарий, когда отдельный вихревой поток окружен невращающимся потоком. Если поток остается постоянным, а граница представляет собой границу раздела, через которую жидкость не может пройти, то вихревая нить может пересечь границу только перпендикулярно.
Это требование вытекает из необходимости иметь преимущественно круговую конфигурацию потока вблизи нити, в плоскостях, перпендикулярных самой нити. Любое отклонение от этой нормальной ориентации противоречит условию отсутствия потока через границу.
Более того, если граница представляет собой неподвижную твердую поверхность с условием отсутствия скольжения, то компоненты скорости в плоскостях, перпендикулярных нити, должны уменьшаться у поверхности, а величина вихря должна приближаться к нулю. Следовательно, изолированная вихревая нить не может закончиться на твердой поверхности, характеризующейся условием отсутствия скольжения.

В случае распределенной вихревости вихревые линии могут пересекать границу отсутствия потока с проскальзыванием, причем пересечение может происходить не в нормальном направлении. Напротив, на неподвижной поверхности без проскальзывания ситуация более ограничена. Поскольку тангенциальная скорость на поверхности равна нулю, нормальная к поверхности составляющая вихря также должна быть равна нулю. Поэтому, если величина вихря ненулевая, вихревые линии должны быть касательными к поверхности. Этот принцип обычно действует в вязком потоке вокруг неподвижного объекта, за исключением отдельных сингулярных точек отрыва или прикрепления, где величина вихря на поверхности равна нулю. В таких случаях вихревая линия может пересекать поверхность нормально, но нормальная составляющая вихря все равно должна приближаться к нулю в точке пересечения. Следовательно, вихревые линии могут пересекать поверхность без скольжения только в изолированных сингулярных точках. Распространено заблуждение, что вихревые линии вообще не могут пересекать поверхность без скольжения, не принимая во внимание упомянутые выше исключения.

Очевидно, что при приближении вихрей к твердой поверхности с условиями отсутствия скольжения, за исключением одной изолированной точки, вихревые линии вынуждены менять направление, чтобы избежать пересечения с поверхностью. Такое перенаправление часто приводит к тому, что вихри вносят свой вклад в вихреобразование в вязком пограничном слое, сформированном на поверхности.

1. Теперь рассмотрим теоретические конструкции, разработанные для идеализированного представления потоков, характеризующихся высокой концентрацией вихрей. Наличие концентрированной вихревости в определенных областях играет важную роль при анализе некоторых потоков, которые будут обсуждаться далее. Например, в главе 8 мы рассмотрим закономерности вихреобразования, наблюдаемые в потоке за подъемным крылом, где вихрь сначала существует в концентрированной форме в тонком сдвиговом слое, а затем переходит в два отдельных, более или менее осесимметричных вихря, окруженных почти невращающимся потоком.

2. В теоретических моделях таких явлений обтекания эти вихревые структуры часто упрощаются как математически тонкие концентрации, при этом сдвиговые слои представляются как вихревые листы, а вихри — как линейные вихри. Несмотря на то, что вихри сосредоточены в областях с нулевой площадью поперечного сечения, эти идеализированные образования демонстрируют конечные потоки вихрей. Следовательно, распределение вихря в месте расположения листа или линии должно быть сингулярным или бесконечным.

3. Когда речь идет о вихревом листе, процесс обычно включает интегрирование по конечной ширине листа для определения конечного потока вихря, хотя интегрированная площадь остается нулевой из-за бесконечно тонкой природы листа. С другой стороны, для линейного вихря достаточно одного интегрирования по линии (по сути, по точке), чтобы вычислить конечный поток. Хотя существует формальная математическая структура, обеспечивающая строгую трактовку этих понятий, детальное изучение этой теории не является необходимым для полного понимания основополагающих принципов.

Линейный вихрь и вихревая нить, хотя на первый взгляд они могут показаться похожими, имеют существенные различия. Во-первых, линейный вихрь имеет площадь поперечного сечения, равную нулю, в то время как нить имеет бесконечно малую площадь поперечного сечения. Кроме того, поток вихря в линейном вихре конечен, а в нити — бесконечно мал. Важно не путать линейный вихрь, который представляет собой сингулярное распределение вихря, с вихревой линией, которая просто параллельна вектору вихря и обычно встречается в областях, где вихрь распределен непрерывно.

Точечный вихрь, также известный как линейный вихрь в двумерном плоском потоке, характеризуется прямой линией, которая простирается бесконечно в обоих направлениях перпендикулярно двумерной плоскости. Такая конфигурация создает впечатление единственной точки в двумерной плоскости. Линейный вихрь служит одной из фундаментальных сингулярностей, которая может быть использована в качестве основного компонента при построении решений теории потенциальных потоков, как описано в разделе 3.10. Однако в более сложных потоках линейный вихрь может иметь кривизну, что представляет собой уникальную проблему. В любой заданной точке вдоль криволинейного вихря, где кривизна ненулевая, скорость жидкости, перпендикулярная вихрю, становится бесконечной. Следовательно, определение реалистичной скорости, при которой линия вихря будет переноситься потоком, становится невозможным. В реальных потоках вихрь распределен непрерывно и имеет конечную величину, что исключает возникновение бесконечных скоростей.

Связь поля скоростей с концентрацией вихрей

Концепция высококонцентрированной вихревой среды часто упрощается как вихревой лист или линейный вихрь. Используя теорему Стокса, мы можем проанализировать распределения скоростей в непосредственной близости, которые должны соответствовать этим идеализированным распределениям вихря.

На рисунке выше, обозначенном как (a), показан вихревой лист в двумерном потоке. Если применить теорему Стокса к замкнутому контуру, охватывающему короткий участок листа, то становится очевидным, что в поперечном сечении листа происходит скачок скорости, равный локальной силе вихря или вихрю на единицу расстояния вдоль листа в направлении, перпендикулярном вектору вихря. В данном конкретном двумерном случае вектор вихря перпендикулярен плоскости бумаги, а расстояние вдоль листа измеряется в направлении потока. Физическое течение, связанное с этим идеализированным вихревым листом, представляет собой сдвиговый слой, в котором скачок скорости распространяется на конечную толщину, как показано на рисунке, обозначенном как (b).

В случае трехмерного потока скачок скорости через вихревой лист, в векторном смысле, должен быть перпендикулярен вектору вихря. В аэродинамике часто встречаются листы, в которых скачок скорости не изменяется, а изменяется только направление. В таких случаях скачок вектора скорости перпендикулярен вектору вихря, который параллелен направлению среднего вектора скорости с двух сторон листа, как показано на рисунке, обозначенном как (c). Можно показать, что если бы вектор вихря не был параллелен среднему из двух векторов скорости, то должен был бы произойти скачок величины скорости.

Вихревые листы, похожие на тот, что изображен на рисунке (c), часто моделируются в трехмерной теории потенциального течения. Из определения потенциала скорости следует, что скачок вектора скорости требует скачка и потенциала скорости.

Если физический сдвиговый слой эффективно тонкий, то есть изменения потока в нем происходят гораздо быстрее, чем изменения в других направлениях, то скачок скорости будет примерно равен по величине и перпендикулярен интегралу вихревости по слою.

Является ли индукция скорости вихревым потоком заблуждением?

Каждый студент инженерного факультета неизбежно сталкивается с законом Биота-Саварта во время обучения в бакалавриате, будь то механика жидкости или классическая электромагнитика. Этот закон предполагает, что понимание завихренности векторного поля в определенной точке дает представление о поведении векторного поля в другой точке.

Несмотря на свою первоначальную привлекательность, эта концепция может быть обманчивой, так как она обычно приводит к двусмысленности в отношении взаимосвязи между причиной и следствием. Кроме того, возможность преобразования уравнений Навье-Стокса из формулы скорости в формулу вихря и использование потенциальных моделей течения для создания препятствий в потоке еще больше подтверждают широко распространенное мнение о том, что вихрь вызывает скорость, как это предполагает принцип Биота-Саварта.

Заблуждение заключается в следующем. В отсутствие гравитационных или электромагнитных сил в обычных потоках жидкости не существует действия на расстоянии. Выражение уравнений в различных формах и ссылка на закон Био-Саварта как на расчетную зависимость между векторным полем и его завитком не означает, что вихрь в точке A может вызвать скорость в удаленной точке B. Хотя верно, что математические отношения, подобные закону Био-Саварта, позволяют нам вывести количественные и качественные детали о поле скоростей в удаленной точке, в механике жидкости они не дают точного представления о физике. Поэтому прямая причинно-следственная связь в данном контексте несколько вводит в заблуждение по сравнению с ее аналогом в классической электромагнетике.

Закон Биота-Саварта оказывается полезным для количественных расчетов. Однако качественная концепция, согласно которой понимание вихревости в конкретной точке позволяет получить информацию о скорости в другой точке, имеет свою ценность. Эта концепция служит одним из наиболее влиятельных инструментов для понимания полей течения. Тем не менее, несмотря на свою силу, она может быть и обоюдоострым мечом, поскольку часто вызывает путаницу при определении причинно-следственных связей.

Проблема возникает из-за того, что вихрь считается «входом», а скорость — «выходом», что приводит к распространенной практике называть скорость, выведенную из вихря, индуцированной скоростью. Это может легко привести к мысли, что вихрь каким-то образом «вызывает» скорость, которую он «определяет». Однако такой ход мыслей неверен. В отсутствие значительных гравитационных или электромагнитных сил тела в обычных потоках жидкости не действуют на расстоянии. Значительные силы передаются только при непосредственном контакте между соседними участками жидкости.

Поэтому вихрь в точке A не может непосредственно «вызвать» скорость в удаленной точке B, а такие термины, как «вызвано», «индуцировано» и даже «благодаря», искажают физику. Очень важно помнить, что соотношение Биота-Саварта — это просто математическая связь между векторным полем и его завитком, и в механике жидкости оно не указывает на прямую физическую причинно-следственную связь. Этот момент чрезвычайно важен, но в литературе на него не обращается достаточного внимания. Интересно изучить взгляды других авторов на этот вопрос. Аэродинамики внесли свою лепту в путаницу, широко используя такие термины, как «индуцированная скорость» и «индукция». Эти термины происходят из другой области, классической электромагнетики, где действует закон Биота-Саварта и утверждается, что магнитное поле «индуцируется» электрическим током. В электромагнетике эта терминология подходит, поскольку считается, что происходит реальное действие на расстоянии, что делает термин «индукция» физически подходящим. Однако в механике жидкости нет прямой причинно-следственной связи. Мы понимаем, что вихри генерируются, переносятся и распространяются, что объясняет существование вихрей в наших полях течения: они служат скорее индикатором общей картины течения, чем его причиной.
Для того чтобы прояснить наличие картины течения, необходимо обратиться к фактической физике, а именно к равновесию сил в элементах жидкости в данном месте.

Join the forum for Designers!

Your expertise is vital to the community. Join us and contribute your knowledge!

Share, learn and grow with the best professionals in the industry.