Многие механические компоненты работают в средах, подверженных вибрации, которая может вызвать резонанс, если компоненты имеют низкие собственные частоты. Это может иметь последствия различной степени тяжести, будь то легкая неприятность в отделке автомобиля, критические ошибки в высокоточном производстве или опасный сбой в гражданском строительстве. В этом сообщении блога показано, как максимизировать наименьшую собственную частоту с помощью оптимизации формы и топологии, чтобы снизить вероятность резонанса. Встроенный функционал COMSOL Multiphysical® Программное обеспечение позволяет решать эти проблемы с помощью градиентной оптимизации.
Введение в механический резонанс
Когда механическая система возбуждается силой, частотное содержание которой соответствует собственным частотам системы, может возникнуть механический резонанс, приводящий к вибрации с высокой амплитудой. Этот эффект может можно использовать (например, в часах и музыкальных инструментах), но в этом сообщении блога мы сосредоточимся на нежелательном резонансе, который может вызвать проблемы с усталостью в машинах или сбои в гражданском строительстве. Для уменьшения резонанса можно принять несколько мер, например, установить активные или пассивные системы виброизоляции или проинструктировать пользователей избегать поведения, вызывающего резонанс. Например, как видно на изображении ниже, на знаменитом мосту в Лондоне есть знак, который предписывает солдатам прерывать шаг при переходе по мосту — таким образом единый ритм их марша не будет вызывать опасный механический резонанс.
Другая стратегия предотвращения механического резонанса — просто увеличить самую низкую собственную частоту. Здесь мы рассмотрим, как этого можно достичь с помощью оптимизации.
На мосту Альберта в Лондоне есть знак, предписывающий солдатам не наступать на мост, чтобы избежать резонанса. Исходное изображение Колина Смита, лицензия: CC BY-SA 2.0 с помощью Викисклад.
Введение в оптимизацию
Все задачи оптимизации состоят из некоторых проектных переменных, которые должны быть изменены алгоритмом оптимизации, чтобы улучшить определенную величину — целевая функция. Могут также существовать требования, при которых другие переменные не могут выходить за определенные границы, также называемые ограничения. В контексте САПР цель часто вычисляется с помощью моделирования.
В алгоритме оптимизации можно выделить:
- Безградиентная оптимизация, при которой оптимизация использует только значения цели и ограничений для обновления проектных переменных.
- Оптимизация на основе градиента, при которой оптимизация также знает, насколько чувствительны цель и ограничения к изменениям проектных переменных.
Оптимизация на основе градиента содержит значительно больше информации на каждой итерации и, следовательно, выполняется значительно быстрее, особенно для задач со многими переменными проектирования. Расхождение в скорости настолько велико, что первый подход непрактичен для большинства приложений оптимизации формы и топологии. COMSOL Мультифизика® поддерживает оба типа оптимизации, перечисленные здесь, но в этом сообщении блога основное внимание будет уделено оптимизации на основе градиента.
В следующих примерах цель состоит в том, чтобы максимизировать минимальную собственную частоту, но можно также максимизировать расстояние до некоторой нежелательной частоты, которая, возможно, естественным образом возникает в окружающей среде. Повторяющийся аспект проблем с собственными частотами заключается в том, что, хотя конструкция содержит симметрию конструкции, ее собственные моды могут быть несимметричными. По этой причине на каждой итерации приходится моделировать всю структуру. Однако в случае, когда исходная конструкция симметрична, ее можно сохранить, используя Зеркальная симметрия функция в Оптимизация формы или Оптимизация топологии интерфейс.
Оптимизация формы
Первый пример — модель оболочки, закрепленная на одном конце. Непрерывность вектора нормали сохраняется за счет использования регуляризации на основе уравнения в частных производных (УЧП) для граничной деформации: \mathbf{d}аналогичный фильтру Гельмгольца, используемому для оптимизации топологии, т.е.
\mathbf{d} = L_\mathrm{min}^2 \nabla^2 \mathbf{d} + \mathbf{c}, \quad ||\mathbf{c}||\leq d_\mathrm{max},
где d_\mathrm{макс} — максимальное смещение, L_\mathrm{мин} длина фильтра, d_\mathrm{макс}/L_\mathrm{мин} – максимальный наклон деформации, а \mathbf{с} – поле управляющей переменной граничной деформации. При оптимизации формы твердых тел также имеется PDE для сглаживания внутренних элементов, но на практике всем занимается PDE. Домен свободной формы, Граница свободной формыи Оболочка произвольной формы особенности в Оптимизация формы интерфейс. Эти функции допускают только оптимизацию на основе градиента. В качестве альтернативы регуляризации формы на основе PDE можно также использовать метод полиномиальной регуляризации или вносить простые изменения в геометрию, такие как перемещение, вращение и масштабирование. (Узнайте больше о переводе и масштабировании в нашей серии из двух частей, посвященной оптимизации формы в электромагнетике.) Анимация ниже показывает результат использования регуляризации на основе PDE при сохранении симметрии конструкции.
Дизайн оболочки анимируется на протяжении всей истории оптимизации.
Переключение режима осуществляется путем всегдаго определения первых шести собственных частот и использования метода перемещения асимптот (ММА) для максимизации минимальной собственной частоты.
В следующем примере рассматривается цельный кронштейн, но геометрия кронштейна напоминает ракушку, поэтому имеет смысл сохранить толщину плеч кронштейна. Этого можно добиться, объединив Общая экструзия оператор с Предписанная деформация (дополнительную информацию см. в разделе «Кронштейн — оптимизация формы собственных частот» в Галерее приложений). В остальном установка аналогична предыдущей модели с точки зрения цели и обеспечения симметрии, но первоначальный дизайн не так уж плох, и поэтому улучшение менее существенное (как показано ниже).
Оптимизация топологии
Оптимизацией на основе градиента также можно воспользоваться при выполнении топологической оптимизации, особенно при использовании Оптимизация топологии интерфейс в программном обеспечении. Подробное введение в оптимизацию топологии можно найти в нашей публикации в блоге «Выполнение оптимизации топологии с помощью метода плотности». Основная идея состоит в том, чтобы ввести пространственно изменяющееся поле проектных переменных, \theta_c, который ограничен значениями от 0 до 1, что соответствует пустоте и твердому материалу соответственно. Тогда для строительной механики можно позволить плотности и модулю Юнга (жесткости) зависеть от этой переменной. Зависимость не является явной, так как выгодно регуляризовать задачу с минимальным масштабом длины, L_\mathrm{мин}. Также необходимо интерполировать плотность, \роиначе, чем жесткость, Э, чтобы предотвратить доминирование промежуточных значений проектной переменной в оптимизированной конструкции из-за их хорошего соотношения жесткости и веса. Связь между полем проектной переменной и свойствами материала определяется следующим образом:
\theta_f &=& L_\mathrm{min}^2\nabla^2\theta_f+\theta_c \\
\theta &=& \frac{\tanh (\beta[\theta_f-1/2])+\tanh (\beta/2 )}{2\tanh(\beta/2)} \\
\rho &=& \rho_\mathrm{mat}\theta \\
E &=& E_\mathrm{mat}(\theta_\mathrm{min}+(1-\theta_\mathrm{min})\theta^{p_\mathrm{SIMP}}),
где \theta_f это отфильтрованная переменная проекта, \бета — параметр наклона проекции, а p_\mathrm{SIMP} — твердый изотропный материал с параметром штрафа (SIMP). Эти параметры могут иметь сильное влияние на оптимизированный проект, поэтому, чтобы избежать плохих локальных минимумов, может потребоваться решить задачу оптимизации для нескольких комбинаций этих двух параметров. То есть решается параметрическая прогонка задач оптимизации, как показано на примере луча, показанном ниже. Балка закреплена слева и на правом конце поддерживает вес, составляющий 15% от общего веса. На балку наложено ограничение объема 40%. Задача оптимизации топологии решается для пяти комбинаций параметров (p_\mathrm{SIMP}, \beta), равный (1, 2), (2, 4), (3, 8), (4, 16) и (5, 32). При первоначальной оптимизации ожидается плохая связь и оттенки серого, но эти нефизические конструкции обеспечивают хорошие начальные конструкции для последующих оптимизаций.
При оптимизации топологии рекомендуется выполнить проверочное моделирование на сетке, подходящей к телу. Это было сделано в версии этой модели из галереи приложений, и результаты показывают лучшую производительность с точки зрения более высоких собственных частот по сравнению с необработанным результатом оптимизации. Этого и следовало ожидать, поскольку неявное проектное представление приводит к тому, что материал становится менее жестким вблизи границы раздела твердое тело-пустота.
Наконец, здесь показан единый результат оптимизации, но можно легко создать альтернативные конструкции, используя разные значения объемной доли, добавленной массы или минимального масштаба длины.
Заключение
Для максимизации собственных частот можно использовать оптимизацию формы и топологии. Условия симметрии часто не могут быть наложены на физику, но можно ограничить оптимизацию так, чтобы симметричная конструкция все равно получалась. Стратегия макс/мин, используемая для переключения режимов, также может быть применена, если целью является максимизация расстояния до определенной нежелательной частоты.
Чтобы получить практический опыт максимизации собственных частот, загрузите примеры, упомянутые в этом сообщении блога, из Галереи приложений: