Чтобы проанализировать материальную производную интегралов по объему и поверхности, мы начнем с определения материальной производной, также известной как существенная производная. Затем мы рассмотрим ее применение к интегралам объема и поверхности, используя математические обозначения и понятия из векторного исчисления.
Материальная производная
Производная D/Dt, также известная как материальная производная по времени, на самом деле является производной по времени от величины B для фиксированной материальной точки. А материальные точки часто определяются вектором начального положения при t = 0. Вектор положения материальной точки в любой момент времени t > 0 задается:
Любая переменная потока, определенная для произвольной материальной точки x0, будет определяться B(x0,t).
Таким образом, соответствующее пространственное описание будет иметь вид B[x(x0,t),t].
Исходя из приведенного выше описания, можно сказать, что существует два типа производных по времени:
Связь между этими двумя производными можно получить, применив правило цепочки:
Производные по времени в фиксированных пространственных точках называются эйлеровыми производными по времени, а производные, взятые в фиксированной материальной точке, называются лагранжевыми.
Теперь перейдем к материальной производной от интегралов объема, т.е. к теореме Рейнольда о переносе, которая гласит, что:
Приведенная выше теорема является расширением правила дифференцирования Лейбница, когда пределы интеграла зависят от времени.
Применяя обычное определение производной как предела «дельты t», стремящегося к 0, к левой части приведенного выше уравнения, получаем:
Теперь в приведенном выше уравнении добавим и вычтем следующий член:
Уравнение приобретает вид:
Второй член равен:
И первый термин можно переписать в виде:
Из чего следует, что это интеграл от B
Для нахождения приведенного выше интеграла любой дифференциальный элемент dAm из Vm
где Am
Отсюда следует, что окончательная форма Теорема Рейнольдса о переносе будет иметь вид:
Дальнейший шаг можно сделать, применив теорему о дивергенции Гаусса над интегралом по площади правой части вышеприведенного уравнения, чтобы получить привычный вид эквивалентной дифференциальной формы вышеприведенного уравнения.
Рассмотрим простой случай, когда вместо переменной потока B(x, t) мы имеем плотность ρ(x ,t). Тогда, применяя теорему о расходимости Гаусса, как было сказано выше, мы получим конечную дифференциальную форму сохранения массы:
Материальная производная поверхностного интеграла:
В этом разделе мы применим те же понятия, которые были разработаны выше для случая материальной производной объемных интегралов, для получения управляющих уравнений для уравнения диффузии концентрации ПАВ на границе раздела двух сред.
Здесь мы будем использовать принцип сохранения концентрации ПАВ на площади поверхности материала, предполагая отсутствие каких-либо источников или поглотителей, либо из-за химических реакций, либо из-за потока в или из окружающей жидкости объемной фазы. Таким образом, мы получим:
Где D/Dt производная по материалу для точек на границе раздела, а Sm
Опять же, следуя тем же шагам, что описаны в вышеприведенном разделе теоремы переноса Рейнольда для объема материала, и помня о замене интегралов объема на интегралы поверхности, а интегралов поверхности на контурные интегралы, мы можем получить уравнение для уравнения диффузии концентрации ПАВ на границе раздела двух сред:
Где u = скорость частиц ПАВ вдоль поверхности раздела
Γ = концентрация ПАВ на поверхности раздела фаз
nc = единичный вектор нормали к контуру элемента поверхности
nt = единичный вектор, касательный к контуру элемента поверхности
n = единичный вектор нормали к поверхности раздела
Cm
Теперь nc можно переписать в виде nc = nt x n.
Таким образом, второй член правой части приведенного выше уравнения можно переписать в виде:
Где dl = элементарный тангенциальный вектор вдоль контура элемента поверхности.
Таким образом, мы видим, что интеграл внутри интеграла есть не что иное, как скалярное тройное произведение трех векторов Γu, dl и n, которое имеет вид [Γu dl n].
Используя свойство скалярного тройного произведения:
Теперь, применяя теорему Стокса по замкнутому контуру, мы можем преобразовать контурный интеграл в поверхностный интеграл, ограниченный контуром, т.е:
Оценивая член, содержащий тройное произведение векторов, вышеприведенный контурный интеграл можно переписать в виде:
Таким образом, мы можем определить новый оператор в плоскости интерфейса как:
Следовательно, контурный интеграл правой части материальной производной поверхностного интеграла может быть записан как:
Следовательно, первое уравнение этого раздела для уравнения материальной производной становится:
Или,
Таким образом, дифференциальная форма будет иметь вид:
Где:
Если разложить скорость ПАВ по двум взаимно перпендикулярным направлениям, т.е. вдоль поверхности раздела и перпендикулярно поверхности раздела, то получим:
Таким образом, вышеприведенное управляющее дифференциальное уравнение приобретает вид:
Таким образом, в отсутствие диффузии мы видим, что в изменение Γ вносят вклад два члена, один из которых — простая конвекция с межфазной скоростью us, а второй член известен как член разбавления. Если добавить диффузионный вклад, учитывая, что диффузионный член возникает из-за броуновского движения и может быть выражен как градиент концентрации ПАВ по аналогии с градиентом температуры в случае диффузионной теплопроводности, то окончательная форма уравнения диффузии концентрации ПАВ с диффузионным членом примет вид:
По сути, это уравнение теперь можно использовать в самых разных случаях, например, для объяснения движения частиц камфоры по поверхности воды и т.д.
Заключение:
Математический анализ материальной производной интегралов объема и поверхности позволяет глубже понять, как изменяются физические величины в движущейся жидкости. Изучая временные изменения объемных и поверхностных интегралов скалярных или векторных полей, мы можем получить представление о динамике и поведении систем течения жидкости.