Сохранение энергии
Первый закон термодинамики, известный как принцип сохранения энергии, гласит, что изменение энергии, запасенной в лагранжевой части жидкости, равно скорости, с которой энергия добавляется к ней из внешних источников, таких как тепло или механическая работа. Для студента, изучающего элементарную термодинамику, два аспекта этого принципа могут оказаться новыми. Во-первых, движение частицы жидкости играет важную роль в общем энергетическом балансе, поэтому объемная кинетическая энергия частицы должна рассматриваться как одна из форм запасенной энергии. Во-вторых, важно понимать, что не только давление, но и вязкие силы могут способствовать добавлению механической работы к энергии системы.
Теплообмен внутри посылки может происходить по двум основным механизмам: электромагнитное излучение и молекулярная проводимость. Электромагнитное излучение подразумевает поглощение или испускание энергии внутри посылки, в то время как молекулярная проводимость относится к переносу тепла через границу посылки. Важно отметить, что эффекты излучения пропорциональны объему, что известно как эффект «тела», в то время как эффекты проводимости связаны с поверхностью. В аэродинамике поверхностные эффекты обычно более значимы, чем эффекты тела. Механическая работа, совершаемая над посылкой, выполняется теми же силами, которые участвуют в сохранении импульса. В аэродинамике внешними силами тела часто пренебрегают, и основное внимание уделяется силам, действующим на соседние посылки.
Однако влияние внутренних напряжений жидкости на сохранение энергии сложнее, чем на сохранение импульса. В то время как при сохранении импульса учитывается только чистая сила, действующая на посылку, при сохранении энергии учитывается также чистая сила, действующая на расстояние, пройденное центром масс посылки, что способствует изменению ее объемной кинетической энергии.
Однако есть и дополнительные факторы, которые необходимо учитывать. В случае деформации посылки, будь то объемная деформация или деформация сдвига, некоторые участки границы посылки будут смещаться относительно ее центра масс. Это перемещение может привести к совершению значительной работы над посылкой. Кроме того, давление, оказываемое на посылку в результате сжатия или расширения, может привести к нагреванию или охлаждению. Кроме того, посылка нагревается из-за вязких напряжений — явление, известное как вязкая диссипация.
Турбулентность представляет собой интригующее соображение, связанное с сохранением энергии. Турбулентные потоки обычно анализируются с помощью теоретических моделей, которые фокусируются на усреднении по времени, эффективно сглаживая нестационарные турбулентные движения. В усредненном по времени поле потока кинетическая энергия, связанная с турбулентностью, становится значительной формой энергии, требующей рассмотрения. Тем не менее, во многих сценариях течения генерация и диссипация кинетической энергии турбулентности (TKE) приблизительно сбалансированы на местном уровне, что позволяет пренебречь TKE:
- Сохранение энергии: Первый закон термодинамики, который гласит, что энергия не может быть создана или уничтожена, а только преобразована из одной формы в другую, обсуждается в контексте посылок с жидкостью. При этом рассматриваются изменения кинетической, потенциальной и внутренней энергии внутри посылки.
- Формы энергии: Подробно описаны различные формы энергии в жидких средах, включая кинетическую энергию объемной жидкости, внутреннюю энергию (под действием давления и вязких сил), а также механизмы теплопередачи, такие как электромагнитное излучение и молекулярная проводимость.
- Механическая работа: Объясняется роль механической работы над посылкой жидкости, при этом отмечается, что она может быть совершена как внешними силами (например, давлением), так и внутренними напряжениями жидкости, которые могут возникать от соседних посылок или деформации самой посылки.
- Эффекты деформации и сжатия: Обсуждается влияние деформации посылки и изменения давления на энергетический баланс, подчеркивается, что эти факторы могут привести к совершению значительной работы над посылкой и повлиять на ее тепловое состояние.
- Вязкая диссипация: Явление вязкой диссипации, когда механическая энергия преобразуется в тепловую из-за вязкости жидкости, упоминается как фактор, способствующий сохранению энергии.
- Турбулентность: Турбулентные потоки вносят дополнительные сложности в сохранение энергии, особенно в отношении генерации и диссипации кинетической энергии турбулентности (TKE). Хотя TKE имеет большое значение в турбулентных потоках, ею можно пренебречь в некоторых сценариях, где скорости генерации и диссипации приблизительно сбалансированы.
В целом, мы попытались объяснить, как принципы термодинамики применяются к посылкам жидкости, особенно в аэродинамическом контексте, и подчеркнуть различные факторы, которые необходимо учитывать при анализе сохранения энергии в таких системах.
Взаимосвязь между различными физическими величинами и граничными условиями
Мы только что рассмотрели фундаментальные законы сохранения в лагранжевой системе отсчета. Независимо от того, применяются ли эти законы в лагранжевой или эйлеровой системе отсчета, они дают пять уравнений, и мы сталкиваемся с восемью неизвестными. Эти неизвестные состоят из трех пространственных координат (в лагранжевой системе) или компонентов скорости (в эйлеровой системе), а также пяти локальных материальных и термодинамических свойств: давления, плотности, температуры, коэффициентов молекулярной вязкости и теплопроводности. Для полного определения системы необходимы три дополнительных определяющих соотношения. В аэродинамике эти соотношения обычно включают уравнение состояния идеального газа, которое связывает давление, плотность и температуру; закон Сазерленда, который связывает вязкость только с температурой; и соотношение Прандтля для теплопроводности.
Комплексная система Навье-Стокса (НС) включает в себя всю внутреннюю физику жидкости, необходимую для нашего анализа. Когда дело доходит до границ нашей области течения, конкретные граничные условия, которые мы должны применять, зависят от типа границы. В случае с границами потока не требуется привлекать дополнительную физику, поскольку уравнения НС сами диктуют, какие граничные условия допустимы или обязательны в зависимости от сценария течения. Однако, когда речь идет о границах, граничащих с другим материалом, обычно называемых «стенками», требуются дополнительные физические соображения для точного определения граничных условий.
Граничные условия определяют поведение системы на ее границах или интерфейсах. Они необходимы для решения дифференциальных уравнений, управляющих физическими явлениями, и часто используются для моделирования взаимодействий между различными материалами или областями внутри системы. Некоторые распространенные типы граничных условий включают:
- Граничные условия Дирихле: Они задают значения зависимых переменных (например, температуры, скорости) на границах области.
- Граничные условия Неймана: Они задают градиенты или потоки зависимых переменных на границах, а не их абсолютные значения.
- Граничные условия Робина: Также известные как смешанные граничные условия, они задают комбинацию предписанных значений и градиентов на границах.
- Периодические граничные условия: Используются для моделирования систем, в которых границы оборачиваются вокруг, образуя периодическую область, например, при моделировании периодических структур или потоков жидкости в каналах.
- Условия интерфейса: При моделировании взаимодействия между различными материалами или фазами условия раздела определяют, как связаны между собой такие величины, как напряжение, перемещение или тепловой поток.
Конститутивные соотношения описывают связь между различными физическими величинами в материале или жидкости. Эти соотношения обычно зависят от свойств материала и могут меняться в зависимости от условий, которым подвергается материал или жидкость. Некоторые общие определяющие соотношения включают:
- Соотношения между напряжением и деформацией: В механике твердого тела эти соотношения описывают, как напряжение (сила на единицу площади) связано с деформацией (деформация) в материале. Различные материалы демонстрируют различное поведение напряжения и деформации, например, упругие, пластические или вязкоупругие реакции.
- Соотношения между напряжением и деформацией в жидкости: Для жидкостей определяющие соотношения часто описывают, как напряжение (напряжение сдвига, нормальное напряжение) связано со скоростью деформации (скоростью деформации). Эти соотношения могут включать такие параметры, как вязкость для ньютоновских жидкостей, или более сложные модели для неньютоновских жидкостей.
- Термодинамические соотношения: В термодинамике определяющие соотношения описывают, как такие свойства, как давление, температура и плотность, связаны между собой при различных условиях. Уравнения состояния, такие как закон идеального газа или более сложные формулировки для реальных газов, являются примерами термодинамических конститутивных соотношений.
- Электромагнитные соотношения: В материаловедении и электромагнетизме определяющие соотношения описывают, как электропроводность, проницаемость и проницаемость связаны с электрическим и магнитным полями.
Математические характеристики уравнений
Представленная система уравнений состоит из пяти полевых PDE и трех алгебраических определяющих соотношений, что в сумме составляет восемь неизвестных. Эти уравнения имеют смешанный гиперболический/эллиптический характер в пространстве, что требует граничных условий для решения во всей области. В то время как численные решения могут продвигаться вперед во времени, пространственная прогрессия не представляется возможной. Из-за нелинейности уравнений решения не могут быть получены путем суперпозиции. Даже для решения задачи об установившемся потоке требуется метод, выходящий за рамки инверсии одной матрицы, такой как марширование по времени или итерационные процессы. Эти сложности будут рассмотрены далее в контексте методов CFD. Решения уравнений НС не всегда могут быть единственными, особенно когда несколько решений для стационарного течения соответствуют одной и той же геометрии тела. Хотя решения без турбулентности существуют теоретически, они часто динамически неустойчивы при высоких числах Рейнольдса и редко наблюдаются в природе.
В связи с вышеупомянутыми проблемами нахождение аналитических решений уравнений НС возможно лишь для ограниченного числа простых случаев с малыми размерами и постоянными свойствами жидкости. Даже в этих случаях решения применимы только при некоторых предельных условиях, когда эффектом инерции можно пренебречь. Например, существуют одномерные решения для устойчивого, полностью развитого потока в плоских двумерных или круглого сечения каналах или трубах, а также двумерные решения для потока вокруг кругового цилиндра или сферы при низких числах Рейнольдса. В ситуациях с большими числами Рейнольдса приближенные решения двумерных уравнений НС могут быть получены с помощью теории пограничного слоя, которая требует решения только одномерного обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ). Однако для более общих потоков численные решения являются единственным возможным вариантом, если только не сделать упрощающих предположений.
Эйлерова рамка
В эйлеровой системе наблюдение сосредоточено на поведении жидкости при ее движении мимо определенных точек в заданных пространственных рамках. Вместо того чтобы следить за изменениями, происходящими в фиксированных участках жидкости, как это делается в системе Лагранжа, фокус смещается на наблюдение за поведением бесконечно малых элементов объема, интегрированных в пространственную систему координат. Эти элементы объема в эйлеровой системе координат имеют непрерывный поток жидкости, проходящий через них и через их границы. Этот поток отражает движение, наблюдаемое в системе Лагранжа. Изменение перспективы требует иного подхода к процессу конвекции при применении законов сохранения. В лагранжевом подходе конвекция неявно учитывается через определение фиксированных участков жидкости, при этом в уравнениях сохранения нет условий для учета конвекции через границы участков из-за отсутствия такого движения по определению. В отличие от этого, в эйлеровом подходе, где поток жидкости через границы элементов объема является обычным явлением, процесс конвекции должен быть явно включен в уравнения в виде дополнительных членов.
С математической точки зрения, дополнительные члены возникают, когда мы заменяем производные по времени в
уравнениях Лагранжа на их эйлеровы эквиваленты, используя уравнение:
В эйлеровы уравнения включены члены, учитывающие конвективные эффекты, которые вытекают из члена V — ∇ в правой части. Чтобы проиллюстрировать эту концепцию, давайте рассмотрим x-компоненту импульса лагранжевой посылки объемом dV, обозначаемую как ρ udV. Применив вышеупомянутое уравнение к этой конкретной величине, мы сможем глубже понять ее значение:
Член, стоящий вторым в правой части уравнения, символизирует конвекцию импульса в эйлеровом уравнении x-моментума в его самой простой форме. Альтернативное представление, часто встречающееся в научных работах, предполагает перемещение плотности за пределы производной, что приводит к более четкой связи с лагранжевым ускорением Du/Dt.
Чтобы получить эту альтернативную форму, необходимо воспользоваться принципом сохранения массы, который в лагранжевой формулировке утверждает, что масса лагранжевой посылки остается постоянной во времени. Если мы снова воспользуемся определением существенной производной, то получим:
Процесс конвекции в деталях
Теперь давайте углубимся в процесс конвекции. Общеизвестно, что конвекция является взаимной на общей границе между двумя посылками. Эту концепцию можно сравнить с третьим законом Ньютона в механике, согласно которому силы, действующие на два соприкасающихся тела, должны быть равны и противоположны. Это равновесие необходимо, потому что на границе раздела нет механизма, который мог бы поддерживать несбалансированную силу. При рассмотрении двух посылок жидкости, имеющих общую границу, не существует механизма, изменяющего поток сохраняющейся величины, поэтому поток, выходящий из одной посылки, должен быть эквивалентен потоку, входящему в другую. В нашей общей формулировке Навье-Стокса нам не нужно явно обеспечивать эту взаимность, поскольку она сама по себе поддерживается непрерывностью всех переменных потока. Однако в специализированных теориях с разрывами, таких как моделирование ударной волны в невязких решениях, требуются дополнительные уравнения, чтобы обеспечить сохранение соотношений через разрыв.
Конвективные члены в уравнениях сохранения имеют четкую физическую интерпретацию. Когда возникает дисбаланс между скоростью конвекции в элементе объема и скоростью конвекции из него, конвекция выступает в качестве источника сохраняемой величины и должна учитываться в законе сохранения. Эти термины указывают на общую скорость, с которой сохраняемая величина перемещается в элемент объема или из него. В случае сохранения массы эта чистая конвекция является единственным фактором, способствующим изменению общей массы внутри элемента с течением времени, особенно в условиях установившегося потока, когда поток массы в элемент и из него должен быть одинаковым. Этот принцип распространяется не только на локальные участки, но и на большие объемы, такие как труба с постоянным потоком, где поток массы через любую поверхность, пересекающую трубу, должен оставаться постоянным. Чистая конвекция играет важнейшую роль в поддержании равновесия при сохранении импульса и энергии, однако необходимо также учитывать влияние внешних сил, действующих на жидкость (импульс и энергия), и теплопроводность.
На баланс импульса и энергии в нашей формулировке могут влиять внешние источники, такие как гравитационные или электромагнитные силы, действующие на жидкость, а также теплообмен за счет поглощения и испускания излучения. Эти факторы можно легко учесть. Кроме того, обмен силой или энергией между частицами жидкости, не находящимися в непосредственном контакте друг с другом, известный как внутренние нелокальные эффекты, также может влиять на балансы. Однако в аэродинамике эти внешние эффекты и внутренние нелокальные эффекты обычно считаются пренебрежимо малыми. Поэтому единственными эффектами, которые необходимо представить в наших уравнениях, являются те, которые передаются через прямой контакт посылки с посылкой. Сюда входят межполостные силы, представленные кажущимися внутренними напряжениями, и тепловые потоки, обусловленные теплопроводностью, которые обмениваются между соседними посылками жидкости. Важно отметить, что эти величины физически не связаны с материалом жидкости и не конвектируют с ним. Они не зависят от изменения скорости в нашей системе отсчета и выглядят одинаково как в эйлеровой, так и в лагранжевой системе.
В типичном сценарии, наблюдаемом в аэродинамике, основная передача сил в жидкости происходит между соседними участками жидкости. Аналогично, конвективные эффекты в эйлеровой системе также действуют исключительно между соседними эйлеровыми посылками. Следовательно, в наших обычных аэродинамических потоках не существует механизма обмена «силой на расстоянии», что исключает возможность дистанционной «индукции» или подобных эффектов. Хотя закон Биота-Саварта может предполагать эффект дистанционной индукции, ошибочно воспринимать скорость в одной точке как «индуцированную» или «вызванную» вихреобразованием в другой точке. Это лишь одна из иллюстраций проблем, связанных с приписыванием причинно-следственных связей в области механики жидкости.
Мотивация Роль инженера-авиаконструктора претерпела значительные изменения за последние годы и будет продолжать развиваться. Появление передовых вычислительных инструментов произвело революцию в процессах проектирования различных типов летательных аппаратов, позволив достичь беспрецедентного уровня технологии проектирования. По мере повышения требований к эксплуатационным характеристикам роль инженера в…
В области анализа вычислительной гидродинамики (CFD) методы Рейнольдса и Навье-Стокса (RANS) традиционно используются для изучения турбулентных потоков в практических инженерных сценариях. Методы, основанные на RANS, относятся к одному концу спектра турбулентных методов расчета, в котором турбулентные гидродинамические эффекты заменяются моделью турбулентности. На противоположном…
Мотивация Понятие о разделении движения вокруг объекта на внешнее невязкое движение и внутреннее вязкое движение, каждое из которых управляется упрощенными уравнениями, было первоначально введено Прандтлем в 1904 году. С тех пор эта концепция получила широкое развитие и широко используется в качестве основного подхода для количественного прогнозирования вязкого…
Мотивация Машинное обучение предоставляет множество возможностей для развития предмета вычислительной гидродинамики и быстро становится фундаментальным инструментом для научных вычислений. Мы выделяем некоторые из областей с наибольшим потенциальным влиянием в этой перспективе, такие как улучшение моделирования закрытия турбулентности, ускорение прямого численного моделирования и создание улучшенных моделей нижнего порядка…..
«Каждый математик считает, что он опережает других. Причина, по которой никто из них не заявляет об этом публично, заключается в том, что они умные люди» — Андрей Колмогоров Скачать PDF: Семейство k-ω моделей турбулентности (автор Томер Авраам) Аннотация Будут представлены три версии двухуравнительной модели турбулентности k-omega. Первая — оригинальная…