Enerjinin Korunumu
Enerjinin korunumu ilkesi olarak bilinen termodinamiğin ilk yasası, bir Lagrangian akışkan parselinde depolanan enerjideki değişimin, ısı veya mekanik iş gibi dış kaynaklardan ona eklenen enerji oranına eşit olduğunu belirtir. Temel termodinamik öğrencisi için bu ilkenin yeni olabilecek iki yönü vardır. İlk olarak, akışkan parselinin hareketi genel enerji dengesinde önemli bir rol oynar, bu nedenle parselin kütlesel kinetik enerjisi depolanan enerji biçimlerinden biri olarak düşünülmelidir. İkinci olarak, sadece basıncın değil, viskoz kuvvetlerin de sistemin enerjisine mekanik iş eklenmesine katkıda bulunabileceğini kabul etmek önemlidir.
Bir parsel içindeki ısı transferi iki ana mekanizma aracılığıyla gerçekleşebilir: elektromanyetik radyasyon ve moleküler iletim. Elektromanyetik radyasyon parsel içinde enerji emilimini veya yayılımını içerirken, moleküler iletim parsel sınırı boyunca ısı transferini ifade eder. Radyasyon etkilerinin “gövde” etkisi olarak bilinen hacimle orantılı olduğunu, iletim etkilerinin ise yüzeyle ilgili olduğunu belirtmek önemlidir. Aerodinamikte, yüzey etkileri tipik olarak gövde etkilerinden daha önemlidir. Parsel üzerinde gerçekleştirilen mekanik iş, momentum korunumunda yer alan aynı kuvvetler tarafından gerçekleştirilir. Aerodinamikte, harici vücut kuvvetleri genellikle ihmal edilebilir düzeydedir ve odak noktası komşu parseller tarafından uygulanan kuvvetlerdir.
Ancak, iç akışkan gerilimlerinin enerji korunumu üzerindeki etkisi momentum korunumuna göre daha karmaşıktır. Momentum korunumu yalnızca parsel üzerindeki net kuvveti dikkate alırken, enerji korunumu aynı zamanda parselin kütle merkezi tarafından kat edilen mesafe boyunca etki eden ve kütle kinetik enerjisindeki değişikliklere katkıda bulunan net kuvveti de dikkate alır.
Ancak, göz önünde bulundurulması gereken ek faktörler vardır. Parselin hacimsel veya kayma şeklinde deformasyona uğraması durumunda, parsel sınırının belirli kısımları kütle merkezine göre kayacaktır. Bu hareket, parsel üzerinde önemli bir iş yapılmasına neden olabilir. Ayrıca, sıkıştırma veya genleşme yoluyla parsele uygulanan basınç, ısıtma veya soğutma etkilerine yol açabilir. Ayrıca, viskoz dağılım olarak bilinen bir olgu olan viskoz gerilmeler nedeniyle parsel ısıya maruz kalır.
Türbülans, enerjinin korunumu ile ilgili olarak ilgi çekici hususlar sunmaktadır. Türbülanslı akışlar tipik olarak zaman ortalamalarına odaklanan teorik modeller aracılığıyla analiz edilir ve bu sayede türbülans hareketleri etkili bir şekilde yumuşatılır. Zaman ortalamalı akış alanı içinde, türbülansla ilişkili kinetik enerji, dikkate alınması gereken önemli bir enerji biçimi haline gelir. Bununla birlikte, birçok akış senaryosunda, türbülans kinetik enerjisinin (TKE) oluşumu ve dağılımı yerel olarak yaklaşık olarak dengelenir ve TKE’nin ihmal edilmesine izin verir:
- Enerjinin Korunumu: Enerjinin yaratılamayacağını veya yok edilemeyeceğini, sadece bir formdan diğerine dönüştürülebileceğini belirten termodinamiğin birinci yasası, akışkan parseller bağlamında tartışılmaktadır. Bu, parsel içindeki kinetik enerji, potansiyel enerji ve iç enerjideki değişiklikleri dikkate almayı içerir.
- Enerji Formları: Kütle kinetik enerjisi, iç enerji (basınç ve viskoz kuvvetlerden etkilenen) ve elektromanyetik radyasyon ve moleküler iletim gibi ısı transfer mekanizmaları dahil olmak üzere bir akışkan parsel içindeki çeşitli enerji biçimleri ayrıntılı olarak açıklanmaktadır.
- Mekanik İşler: Akışkan bir parsel üzerindeki mekanik işin rolü, hem dış kuvvetler (basınç gibi) hem de komşu parsellerden veya parselin kendisinin deformasyonundan kaynaklanabilecek iç akışkan gerilmeleri tarafından gerçekleştirilebileceğine dikkat çekilerek açıklanmaktadır.
- Deformasyon ve Sıkıştırma Etkileri: Parsel deformasyonunun ve basınçtaki değişikliklerin enerji dengesi üzerindeki etkisi tartışılmakta, bu faktörlerin parsel üzerinde nasıl önemli bir iş yapılmasına yol açabileceği ve termal durumunu nasıl etkileyebileceği vurgulanmaktadır.
- Viskoz Dağılım: Mekanik enerjinin akışkan viskozitesi nedeniyle ısıya dönüştüğü viskoz dağılım olgusundan, enerji tasarrufu hususlarına katkıda bulunan bir faktör olarak bahsedilmektedir.
- Türbülans: Türbülanslı akışlar, özellikle türbülans kinetik enerjisinin (TKE) oluşumu ve dağılımıyla ilgili olarak enerji korunumuna ek karmaşıklıklar getirmektedir. TKE türbülanslı akışlarda önemli olmakla birlikte, üretim ve dağılım oranlarının yaklaşık olarak dengeli olduğu bazı senaryolarda ihmal edilebilir.
Genel olarak, termodinamik ilkelerinin özellikle aerodinamik bağlamlarda akışkan parsellerine nasıl uygulandığına dair bir açıklama sunmaya ve bu tür sistemlerde enerji korunumunu analiz ederken göz önünde bulundurulması gereken çeşitli faktörleri vurgulamaya çalışıyoruz.
Çeşitli Fiziksel Büyüklükler ve Sınır Koşulları Arasındaki İlişki
Az önce Lagrangian referans çerçevesindeki temel korunum yasalarını inceledik. Bu yasalar ister Lagrangian ister Eulerian çerçevede uygulansın, beş denklem verirler ve sekiz bilinmeyenle karşı karşıya kalırız. Bu bilinmeyenler üç uzay koordinatı (Lagrangian’da) veya hız bileşeni (Eulerian’da) ile beş yerel malzeme ve termodinamik özellikten oluşur: basınç, yoğunluk, sıcaklık ve moleküler viskozite ve termal iletkenlik katsayıları. Sistemi tam olarak tanımlamak için üç ek kurucu ilişki gereklidir. Aerodinamikte bu ilişkiler tipik olarak basınç, yoğunluk ve sıcaklığı ilişkilendiren ideal gaz durum denklemini; viskoziteyi yalnızca sıcaklığa bağlayan Sutherland yasasını ve termal iletkenlik için Prandtl ilişkisini içerir.
Kapsamlı Navier-Stokes (NS) sistemi, analizimiz için gerekli olan tüm iç akışkan fiziğini kapsar. Akış alanımızın sınırları söz konusu olduğunda, uygulamamız gereken belirli sınır koşulları söz konusu sınırın türüne bağlıdır. Akış sınırları söz konusu olduğunda, NS denklemleri akış senaryosuna bağlı olarak hangi sınır koşullarının izin verilebilir veya zorunlu olduğunu belirlediğinden, herhangi bir ek fiziğe başvurulmasına gerek yoktur. Bununla birlikte, genellikle “duvarlar” olarak adlandırılan başka bir malzeme ile arayüz oluşturan sınırlarla uğraşırken, sınır koşullarını tam olarak tanımlamak için ek fiziksel hususlar gereklidir.
Sınır koşulları, bir sistemin sınırlarındaki veya arayüzlerindeki davranışını belirtir. Fiziksel olayları yöneten diferansiyel denklemleri çözmek için gereklidirler ve genellikle bir sistem içindeki farklı malzemeler veya bölgeler arasındaki etkileşimleri modellemek için kullanılırlar. Bazı yaygın sınır koşulları türleri şunlardır:
- Dirichlet Sınır Koşulları: Bunlar, bir etki alanının sınırlarındaki bağımlı değişkenlerin (örn. sıcaklık, hız) değerlerini belirtir.
- Neumann Sınır Koşulları: Bunlar, bağımlı değişkenlerin mutlak değerlerinden ziyade sınırlardaki gradyanlarını veya akışlarını belirtir.
- Robin Sınır Koşulları: Karma sınır koşulları olarak da bilinen bu koşullar, sınırlarda öngörülen değerlerin ve gradyanların bir kombinasyonunu belirtir.
- Periyodik Sınır Koşulları: Bunlar, periyodik yapıların simülasyonlarında veya kanallardaki sıvı akışlarında olduğu gibi, sınırların periyodik bir alan oluşturacak şekilde sarıldığı sistemleri modellemek için kullanılır.
- Arayüz Koşulları: Farklı malzemeler veya fazlar arasındaki etkileşimi modellerken, arayüzey koşulları stres, yer değiştirme veya ısı akısı gibi niceliklerin arayüzey boyunca nasıl ilişkili olduğunu belirtir.
Yapısal ilişkiler, bir malzeme veya akışkan içindeki çeşitli fiziksel büyüklükler arasındaki ilişkiyi tanımlar. Bu ilişkiler tipik olarak malzeme özelliklerine bağlıdır ve malzemenin veya akışkanın maruz kaldığı koşullara göre değişebilir. Bazı yaygın yapısal ilişkiler şunları içerir:
- Gerilme-Şekil Değiştirme İlişkileri: Katı mekaniğinde bu ilişkiler, gerilimin (birim alan başına kuvvet) bir malzeme içindeki gerinim (deformasyon) ile nasıl ilişkili olduğunu açıklar. Farklı malzemeler elastik, plastik veya viskoelastik tepkiler gibi farklı gerilme-şekil değiştirme davranışları sergiler.
- Akışkan Gerilme-Şekil Değiştirme İlişkileri: Akışkanlar için, bünye ilişkileri genellikle gerilimin (kayma gerilimi, normal gerilme) gerilme hızı (deformasyon hızı) ile nasıl ilişkili olduğunu açıklar. Bu ilişkiler, Newton akışkanları için viskozite gibi parametreleri veya Newton olmayan akışkanlar için daha karmaşık modelleri içerebilir.
- Termodinamik İlişkiler: Termodinamikte, yapısal ilişkiler basınç, sıcaklık ve yoğunluk gibi özelliklerin farklı koşullar altında nasıl ilişkili olduğunu açıklar. İdeal gaz kanunu veya gerçek gazlar için daha karmaşık formülasyonlar gibi hal denklemleri, termodinamik yapısal ilişkilere örnektir.
- Elektromanyetik İlişkiler: Malzeme bilimi ve elektromanyetizmada, kurucu ilişkiler elektriksel iletkenlik, geçirgenlik ve geçirgenliğin elektrik ve manyetik alanlarla nasıl ilişkili olduğunu açıklar.
Denklemlerin Matematiksel Özellikleri
Sunulan denklem sistemi, toplam sekiz bilinmeyenli beş alan PDE’si ve üç cebirsel kurucu bağıntıdan oluşmaktadır. Bu denklemler uzayda karışık hiperbolik/eliptik bir yapı sergilemekte ve tüm alan boyunca bir çözüm için sınır koşulları gerektirmektedir. Sayısal çözümler zaman içinde ilerleyebilse de, uzamsal ilerleme mümkün değildir. Denklemlerin doğrusal olmaması nedeniyle, çözümler genellikle süperpozisyon yoluyla elde edilemez. Sabit akışlı bir çözüm bile zaman yürüyüşü veya iteratif süreçler gibi tek bir matris ters çevirmenin ötesinde bir yöntem gerektirir. Bu karmaşıklıklar HAD yöntemleri bağlamında daha ayrıntılı olarak incelenecektir. NS denklemlerinin çözümleri, özellikle birden fazla sabit akış çözümü aynı gövde geometrisine karşılık geldiğinde, her zaman benzersiz olmayabilir. Türbülans içermeyen çözümler teorik olarak mevcut olsa da, bunlar genellikle yüksek Reynolds sayılarında dinamik olarak kararsızdır ve doğada nadiren gözlemlenir.
Yukarıda bahsedilen zorluklar nedeniyle, NS denklemlerine analitik çözümler bulmak yalnızca boyutları azaltılmış ve akışkan özellikleri sabit olan sınırlı sayıda basit durum için mümkündür. Bu durumlarda bile, çözümler yalnızca eylemsizlik etkilerinin göz ardı edilebildiği belirli sınırlayıcı koşullar altında uygulanabilir. Örneğin, düzlemsel iki boyutlu veya dairesel kesitli kanallar veya borulardaki kararlı, tam gelişmiş akış için tek boyutlu çözümler ve düşük Reynolds sayılarında dairesel bir silindir veya küre etrafındaki akış için iki boyutlu çözümler mevcuttur. Yüksek Reynolds sayılarını içeren durumlarda, iki boyutlu NS denklemlerinin yaklaşık çözümleri, yalnızca bir boyutlu adi diferansiyel denklemin (ODE) çözülmesini gerektiren sınır katmanı teorisi kullanılarak elde edilebilir. Bununla birlikte, daha genel akışlar için, basitleştirici varsayımlar yapılamadığı sürece sayısal çözümler tek geçerli seçenektir.
Eulerian Çerçeve
Eulerian çerçevede gözlem, belirlenmiş bir uzamsal çerçeve içinde belirli noktalardan geçerken akışkanın davranışına odaklanır. Lagrangian çerçevesinde olduğu gibi akışkanın sabit kısımlarının yaşadığı değişiklikleri izlemek yerine, odak noktası uzamsal koordinat sistemine entegre edilmiş sonsuz küçük hacim elemanları içindeki davranışı gözlemlemeye kayar. Eulerian çerçevesindeki bu hacim elemanları, içlerinden ve sınırlarından geçen sürekli bir akışkan akışına sahiptir. Bu akış Lagrangian çerçevede gözlemlenen hareketi yansıtır. Bakış açısındaki değişiklik, korunum yasalarını uygularken konveksiyon sürecinin farklı bir şekilde ele alınmasını gerektirir. Lagrangian yaklaşımında konveksiyon, sabit akışkan parsellerinin tanımlanması yoluyla dolaylı olarak dikkate alınmakta ve tanım gereği böyle bir hareketin olmaması nedeniyle koruma denklemlerinde parsel sınırları boyunca konveksiyonu hesaba katan hiçbir terim bulunmamaktadır. Buna karşılık, hacim elemanı sınırları boyunca akışkan akışının yaygın olduğu Eulerian yaklaşımda, konveksiyon süreci denklemlere ek terimler olarak açıkça dahil edilmelidir.
Matematiksel olarak, zaman türevlerini aşağıdaki şekilde değiştirdiğimizde ek terimler ortaya çıkar
Lagrangian denklemleri ile Eulerian denklemleri, Denklem kullanılarak:
Eulerian denklemleri, sağ taraftaki V – ∇ teriminden kaynaklanan konveksiyon etkilerini hesaba katan terimler içerir. Bu kavramı açıklamak için, ρ udV olarak gösterilen dV hacimli bir Lagrangian parselinin momentumunun x bileşenini inceleyelim. Yukarıda bahsedilen denklemi bu özel niceliğe uygulayarak, çıkarımlarını daha iyi anlayabiliriz:
Denklemin sağ tarafında ikinci sırada yer alan terim, en temel haliyle Eulerian x-momentum denklemindeki momentum taşınımını sembolize etmektedir. Akademik çalışmalarda sıklıkla karşılaşılan alternatif bir gösterim, yoğunluğu türevin dışına taşımayı içerir ve Lagrangian ivmesi Du/Dt ile daha net bir bağlantı sağlar.
Bu alternatif formu elde etmek için, Lagrangian formülasyonunda bir Lagrangian parselinin kütlesinin zaman içinde sabit kaldığını ileri süren kütlenin korunumu ilkesine başvurmak gerekir. Eğer yine önemli türev tanımını kullanırsak, şu sonuca ulaşırız:
Ayrıntılı Konveksiyon Süreci
Şimdi konveksiyon sürecini daha derinlemesine inceleyelim. Konveksiyonun iki parsel arasındaki ortak bir sınır boyunca karşılıklı olduğu iyi bilinen bir gerçektir. Bu kavram, temas halindeki iki cisim tarafından uygulanan kuvvetlerin eşit ve zıt olması gerektiğini belirten Newton’un mekanikteki üçüncü yasasına benzetilebilir. Bu denge gereklidir çünkü arayüzde dengesiz bir kuvveti sürdürecek bir mekanizma yoktur. Bir sınırı paylaşan iki akışkan parsel düşünüldüğünde, korunmuş bir miktarın akışını değiştirecek bir mekanizma yoktur, bu nedenle bir parselden çıkan akış diğerine giren akışa eşit olmalıdır. Genel Navier-Stokes formülasyonumuzda, tüm akış değişkenlerinin sürekliliği tarafından doğal olarak korunduğu için bu karşılıklılığı açıkça zorlamamız gerekmez. Bununla birlikte, süreksizlik içeren özel teorilerde, örneğin inviskid çözümlerde şok modellemesi gibi, koruma ilişkilerinin süreksizlik boyunca korunmasını sağlamak için ek denklemler gereklidir.
Korunum denklemlerindeki konveksiyon terimlerinin açık bir fiziksel yorumu vardır. Bir hacim elemanının içine taşınım oranı ile dışına taşınım oranı arasında bir dengesizlik olduğunda, taşınım korunan miktarın bir kaynağı olarak hareket eder ve korunum yasasında dikkate alınması gerekir. Bu terimler, korunan bir miktarın bir hacim elemanının içine veya dışına taşındığı genel oranı gösterir. Kütle korunumu söz konusu olduğunda, bu net taşınım, özellikle kütle akışının eleman içine ve dışına eşit olması gereken kararlı akış koşullarında, eleman içindeki toplam kütlenin zaman içindeki değişimine katkıda bulunan tek faktördür. Bu ilke, yerel parsellerin ötesinde, tüple kesişen herhangi bir yüzeyden geçen kütle akışının sabit kalması gereken sabit akışlı bir akış borusu gibi daha büyük hacimlere kadar uzanır. Net konveksiyon, momentum ve enerjinin korunumunda dengenin sağlanmasında çok önemli bir rol oynar, ancak akışkan üzerinde etkili olan dış kuvvetlerin (momentum ve enerji) ve ısı iletiminin etkilerini de dikkate almak önemlidir.
Formülasyonumuzdaki momentum ve enerji dengeleri, akışkan üzerinde etkili olan yerçekimi veya elektromanyetik kuvvetler gibi dış kaynaklardan ve radyasyonun emilmesi ve yayılması yoluyla ısı transferinden etkilenebilir. Bu katkılar kolaylıkla hesaba katılabilir. Ayrıca, yerel olmayan iç etkiler olarak bilinen, birbirleriyle doğrudan temas halinde olmayan akışkan parselleri arasındaki kuvvet veya enerji alışverişleri de dengeleri etkileyebilir. Ancak aerodinamikte bu harici etkilerin ve dahili yerel olmayan etkilerin genellikle ihmal edilebilir olduğu kabul edilir. Bu nedenle, denklemlerimizde temsil edilmesi gereken tek etkiler doğrudan parselden parsele temas yoluyla iletilen etkilerdir. Bu, görünür iç gerilmelerle temsil edilen parseller arası kuvvetleri ve bitişik akışkan parselleri arasında değiş tokuş edilen iletimden kaynaklanan ısı akışlarını içerir. Bu büyüklüklerin akışkan malzemeye fiziksel olarak bağlı olmadığını ve onunla birlikte taşınmadığını belirtmek önemlidir. Referans çerçevemizin hızındaki değişikliklerden etkilenmezler ve hem Eulerian hem de Lagrangian çerçevelerinde aynı görünürler.
Aerodinamikte gözlemlenen tipik senaryoda, akışkan içindeki kuvvetlerin birincil aktarımı komşu akışkan parselleri arasında gerçekleşir. Benzer şekilde, bir Eulerian çerçevesindeki konveksiyon etkileri de yalnızca komşu Eulerian parselleri arasında çalışır. Sonuç olarak, geleneksel aerodinamik akışlarımızda, herhangi bir “uzaktan kuvvet” alışverişi mekanizması yoktur, dolayısıyla uzaktan “indüksiyon” veya benzer etkileri dışlar. Biot-Savart yasası uzaktan bir indüksiyon etkisi önerse de, bir noktadaki hızın başka bir noktadaki vortisite tarafından “indüklendiği” veya “neden olduğu” şeklinde algılanması hatalıdır. Bu, akışkanlar mekaniği alanında neden ve sonuç atfetme ile ilgili zorlukların sadece bir örneğidir.
Motivasyon Havacılık mühendisinin rolü son yıllarda önemli değişiklikler geçirmiştir ve gelişmeye devam edecektir. Gelişmiş hesaplama araçlarının ortaya çıkışı, çeşitli uçuş araçları için tasarım süreçlerinde devrim yaratmış ve benzeri görülmemiş tasarım teknolojisi seviyelerine ulaşılmasını sağlamıştır. Performans hedefleri daha zorlu hale geldikçe, mühendisin rolü de…
Hesaplamalı akışkanlar dinamiği (CFD) analizi alanında, Reynolds ortalamalı Navier Stokes (RANS) yöntemleri, pratik mühendislik senaryolarında türbülanslı akışları incelemek için geleneksel olarak tercih edilen yöntem olmuştur. RANS tabanlı teknikler, türbülanslı akışkan dinamiği etkilerinin bir türbülans modeli ile ikame edildiği türbülanslı hesaplama yöntemleri spektrumunun bir ucunda yer alır. Diğer uçta ise…
Motivasyon Bir nesneyi çevreleyen hareketi, her biri basitleştirilmiş denklemlerle yönetilen bir dış inviskid hareket ve bir iç viskoz hareket olarak bölme kavramı ilk olarak 1904 yılında Prandtl tarafından ortaya atılmıştır. O zamandan bu yana, bu kavram kapsamlı bir gelişim geçirmiş ve viskoz hareketin nicel tahminlerini yapmak için birincil yaklaşım olarak yaygın bir şekilde kullanılmıştır…
Motivasyon Makine öğrenimi, hesaplamalı akışkanlar dinamiği konusunu ilerletmek için birçok fırsat sunmaktadır ve hızla bilimsel hesaplama için temel bir araç olarak ortaya çıkmaktadır. Bu perspektifte türbülans kapanış modellemesinin geliştirilmesi, doğrudan sayısal simülasyonların hızlandırılması ve geliştirilmiş alt düzey modellerin oluşturulması gibi en büyük potansiyel etkiye sahip alanlardan bazılarını vurguluyoruz….
“Her matematikçi kendisinin diğerlerinden önde olduğuna inanır. Hiçbirinin bu inancını kamuoyu önünde dile getirmemesinin nedeni zeki insanlar olmalarıdır.” – Andrey Kolmogorov PDF İndir: Türbülans Modellerinin k-ω Ailesi (Tomer Avraham tarafından) Özet k-omega iki denklemli türbülans modelinin üç versiyonu sunulacaktır. İlki orijinal modeldir…