Bu yazının amacı denklemleri matematiksel olarak türetmek değil, daha ziyade denklemlerdeki farklı terimlerin anlamlarına ilişkin kısa ve sezgisel açıklamalar sunmaktır. Ayrıca, akışların özelliklerine ilişkin denklemlerden çıkarılabilecek bazı kapsayıcı kavramları analiz etmeyi amaçlıyoruz.
Kullandığımız temel denklemler kütle, momentum ve enerjinin korunumu ilkelerinin temsilleridir. Bu ilkeler en etkili şekilde Lagrangian referans çerçevesi içinde ifade edilir ve anlaşılır; burada hareketi, zaman içinde ilerlerken değişmeyen akışkan parsellerinin yollarıyla ilişkili olarak tasvir ederiz.
Bununla birlikte, akışın akışkandan bağımsız bir uzamsal referans çerçevesindeki noktalardan geçerken tanımlanmasını içeren Eulerian referans çerçevesi, hem kavramsal hem de nicel nedenlerden dolayı nihayetinde tercih edilen seçenektir. Bu bağlamda benimseyeceğim yöntem, Eulerian çerçevede nasıl ifade edildiklerine ilişkin bir tartışmaya geçmeden önce Lagrangian çerçevedeki korunum yasalarının önemine ilişkin kısa bir açıklama sunmaktır.
Hem Lagrangian hem de Eulerian perspektiflerinde, her iki durumda da farklı tanımlar olsa da, küçük akışkan hacimlerinin davranışını inceleyeceğiz. Koruma yasalarımızın kısmi diferansiyel denklemler (PDE’ler) olarak türetilmesi, akışkan parsellerimiz için sonsuz küçük boyutlara yaklaşmanın resmi bir sürecini gerektirir. Bu söylemde bu prosedürün ayrıntılarına girmeyecek olsak da, okuyucunun her iki referans çerçevesindeki akışkan parsellerinin keyfi olarak çok küçük olarak kavramsallaştırılması gerektiğini akılda tutması önemlidir.
Lamb (1932), sabit bir Lagrangian akışkan parseli için, zaman boyunca yalnızca aynı akışkan parçacıklarından oluştuğunu belirten bir tanım sunmaktadır. Bu tutarlılığı korumak için, parselin sınırlayıcı yüzeyi, herhangi bir akışkan parçacığının içinden geçmesini engelleyecek şekilde akışkanla birlikte hareket etmelidir. Ancak, bu kavramın sadece kavramsal süreklilik dünyamızda geçerli olan bir idealleştirme olduğunu kabul etmek önemlidir. Gerçekte, moleküller kaçınılmaz olarak böyle bir sınır boyunca her iki yönde de yayılacaktır ve yapabileceğimiz en iyi şey, sınırın akışkanın ortalama hareketini takip etmesini sağlamaktır, bu da sınır boyunca net bir malzeme akışı olmamasına neden olur. Hangi perspektiften bakılırsa bakılsın, parsel her zaman aynı miktarda malzeme içerecek ve sınırlayıcı yüzeyi boyunca net bir malzeme akışı göstermeyecektir. Kütle difüzyonunu göz ardı eden bu yaklaşım, bağıl tür konsantrasyonlarının sabit kaldığı tek türlü akışkanlar veya çok türlü akışkanlar söz konusu olduğunda işe yarar. Ancak, bağıl tür konsantrasyonları önemli ölçüde değişiyorsa, bir Lagrangian akışkan parselinin tanımlanması sorunlu hale gelir. Şimdilik, Lagrangian tanımlamasındaki bu küçük sınırlamayı göz ardı edeceğiz ve tartışmamıza devam edeceğiz.
Daha önce de belirtildiği gibi, kütle, momentum ve enerji için korunum yasaları oluşturulmuştur. Bunun nedeni, bu büyüklüklerin fizik ve termodinamikte temel olmaları ve korunmalarını gerektirmeleridir. Doğaları gereği korunum yasalarına sahip olmayan basınç veya viskoz gerilmelerin aksine. Kütle, momentum ve enerji akışkan malzemeye karmaşık bir şekilde bağlıdır ve onunla birlikte taşınır. Bu taşınan büyüklükler Lagrangian akışkan parselleri ile ilişkilidir, yani bir parsel içindeki büyüklükteki herhangi bir değişiklik yalnızca parsel içindeki veya sınırlarındaki fiziksel süreçler nedeniyle meydana gelebilir. Korunum yasaları bu değişiklikleri ölçmeye hizmet eder ve Lagrangian perspektifi içinde kütle, momentum ve enerjinin korunumunu anlamak için bir çerçeve sağlar.
Akışın Sürekliliği – kütlenin korunumu
Lagrangian tanımındaki akışkan parseline ilişkin kesin tanımımıza göre, parsel içindeki kütlenin korunumu doğal olarak garanti altındadır. Bununla birlikte, kütle korunumunu açıkça sağlamaktan sorumlu denklemin ek rolleri yerine getirmesi gerekir. Süreklilik denklemi, çeşitli noktalardaki akışkan yoğunluğu ile kapladığı hacim arasında bir bağlantı kurar ve böylece iki temel kriteri karşılar:
- Kütlenin korunması, parselin tanımlanmış özelliklerine uygun olarak her Lagrangian parselinde temel bir ilkedir.
- Lagrangian parselleri arasında boş alan yoktur ve komşu parseller kesişmez. Tüm akışkan hacmini, kütle korunumunu sağlayan Lagrangian parselleri ile tamamen dolu olarak görmek esastır.
Lagrangian tanımındaki süreklilik denklemi fiziksel anlamda kolayca anlaşılabilir: Bir akışkan parselinin hacmi değiştiğinde, parselin kütlesini sabit tutmak için akışkanın yoğunluğu da değişmelidir.
Süreklilik denkleminin temeli fiziksel olmasına rağmen (yukarıdaki 1. ve 2. gereklilikler), akışa yüklediği gereklilikler diğer denklemlerin yüklediği gereklilikler kadar doğrudan neden-sonuç ilişkisi içinde değildir. Örneğin, momentumun korunumunda kuvvetler doğrudan ivmelere neden olur; ve enerjinin korunumunda.
Akışkan Parselleri Üzerindeki Kuvvetler ve Momentumun Korunumu
Lagrangian referans çerçevesinde, momentumun korunması Newton’un ikinci yasası olan F = ma ile açıkça sağlanır. Lagrangian akışkan parselimiz sabit bir kütleye sahiptir ve ivmesi, üzerine uygulanan kuvvetlerin kümülatif etkisi ile belirlenir.
Yerçekimi ve elektromanyetik kuvvetler gibi dış cisim kuvvetleri bir parsel üzerinde etkili olabilir, ancak aerodinamikte bu kuvvetler tipik olarak önemsiz kabul edilir. Odak noktası öncelikle komşu parseller tarafından parsel yüzeyine uygulanan kuvvetlerdir. Newton’un üçüncü yasasına göre, bu yüzey kuvvetleri paylaşılan sınır boyunca eşit ve zıt olmalıdır. Bu kuvvetler görünür iç akışkan “gerilmeleri” olarak adlandırılır. Bu gerilmelerin idealize edilmiş süreklilik dünyasında dağıtılmış gerilmeler olarak görülebileceği, gerçekte ise sadece moleküler hareket nedeniyle momentum transferinden kaynaklanan görünür gerilmeler olduğu kabul edilmektedir. Yine de, ilerlerken bunları gerçek gerilimler olarak ele alacağız.
“CFD Hakkında Her Şey” – “Aerodinamiğin Temelleri” tartışmamızın önceki yazılarında, bu gerilmeleri bir tensör olarak temsil etme kavramını araştırdık. Bu yaklaşım, matematiksel manipülasyon söz konusu olduğunda avantajlı olduğunu kanıtlamaktadır. Bununla birlikte, fiziksel bir anlayış kazanmak amacıyla, kuvvet vektörleri açısından düşünmek daha sezgiseldir. Gerilme tensörünü parseller arasındaki varsayımsal sınıra normal olan birim vektörle daraltarak, sınır boyunca etki eden birim alan başına kuvveti temsil eden bir vektör elde ederiz. Dahası, bu vektörü iki bileşene ayırabiliriz: biri sınıra dik ve diğeri paralel olan. NS denklemleri bağlamında, dik bileşenin genellikle statik basınç olarak adlandırılan yerel hidrostatik basınç olduğu varsayılır. Öte yandan, paralel bileşen kayma gerilmesi olarak bilinir ve yalnızca viskozitenin etkilerinden kaynaklanır.
Basıncın sezgisel olarak anlaşılması, sürekli akışkanlar mekaniğinin doğası gereği zorluklara yol açmaktadır. Basınç, uzayda belirli bir noktayı çevreleyen varsayımsal sınırlara uygulanan normal stres olarak görselleştirilebilir.
Skaler bir büyüklük olmasına rağmen, belirli bir noktada tüm yönlerde eşit olarak kuvvet uygular. Başlangıçta bu kavramı anlamak zor olabilir. Anderson ve Eberhardt (2001) gibi bazı yorumcular statik basıncı yanlışlıkla “akışa paralel olarak ölçülen basınç” olarak tanımlamıştır.
Ancak bu tanım, akış yönünden etkilenmeyen ve her yöne eşit şekilde etki eden basıncın gerçek özüyle çelişmektedir. Basıncı anlamaya yönelik daha sezgisel bir yaklaşım, basıncın küçük ama sonlu bir sıvı parseli üzerindeki etkisini göz önünde bulundurmayı içerir. Sabit bir basınç alanı içinde bu parsel, çevresindeki akışkandan her yönde eşit içe doğru kuvvetlerle karşılaşır.
Parselde herhangi bir ivmeye neden olmak için, parselin tüm yüzlerine etki eden toplam gerilmeler, dengesiz bir kuvveti gösteren sıfır olmayan bir vektör toplamı ile sonuçlanmalıdır. Parselin zıt taraflarındaki gerilmeler zıt yönlerde hareket eder ve büyüklükleri eşitse birbirlerini iptal ederler. Sabit basınçlı bir alanda, normal gerilmeler birbirini iptal eder ve dengesiz kuvvet oluşmaz. Dengesiz bir kuvvete sahip olmak için, parselin karşıt taraflarındaki gerilimlerin büyüklükleri farklı olmalıdır, bu da üniform olmayan basınç veya viskoz gerilim gerektirir.
onuç olarak, dengesiz kuvvet kendi başına gerilime değil, basınç bağlamında ∇p ile sembolize edilen gerilme gradyanına bağlıdır. Bu tipik olarak üniform olmayan sıvı akışını içerir. Kuvvetlerin akışkan parselinin ve komşu parsellerinin hareketinden etkilendiği göz önüne alındığında, gerilmeler ve hızlar arasındaki neden-sonuç ilişkisi dairesel hale gelir ve böylece analizimize karmaşıklık katar. Bu konu, “Aerodinamiğin Temelleri” konulu “CFD Hakkında Her Şey” serimizin gelecek sayısında daha ayrıntılı olarak ele alınacaktır.
Bir parselin ivmesi momentum denklemi tarafından yönetilir, bu nedenle parselin hızını belirlemek için denklemin integralini almak gerekir. Serinin ilerleyen bölümlerinde, akışkan olmayan bir akışkanın kararlı akışı için momentum denkleminin integralinin nasıl çok değerli bir akış ilişkisi olan Bernoulli denklemi ile sonuçlandığı gösterilecektir.