Akış alanı içerisinde vortisite dağılımını düşünürken değerli olduğunu kanıtlayan bir dizi kavrama sahibiz. Başlangıçta, vortisitenin sürekli olarak dağıldığı tipik gerçekçi senaryo için geçerli olan kavramlara odaklanacağız.
Vortisitenin sıfıra eşit olmadığı herhangi bir bölgede, vortisite vektörüne paralel uzamsal bir eğri olarak bir vorteks çizgisi oluşturmak mümkündür. Bu, bir akım çizgisinin hız vektörü ile hizalanmasına benzer. Sonuç olarak, vortisite alanı içinde bir vorteks çizgisi, hız alanı içindeki bir akım çizgisine benzerlik gösterir. Akış çizgisi kavramını bir akış tüpünü kapsayacak şekilde genişlettiğimiz gibi, benzer şekilde bir girdap çizgisi kavramını da bir girdap tüpünü kapsayacak şekilde genişletebiliriz.
Bir vorteks tüpünün sınırı boyunca vortisite akısı, tanımı gereği doğal olarak sıfırdır. Dahası, bir vektörün kıvrımının, özellikle de hızın (kıvrımı vortisiteyi temsil eden) sapması, vektör özdeşliğine göre sıfırdır. Sonuç olarak, akı, uzunluk boyunca konumu ne olursa olsun, tüpün herhangi bir kesiti boyunca sabit kalır.
Bir vorteks tüpü içindeki vortisite akısının sabitliği, vorteksin gerilmesine eşlik etmesi gereken vortisite büyüklüğündeki değişiklikleri yönetir. Bir girdap tüpünün kesit alanı zamanla ya da uzunluğu boyunca azaldığında, girdabın gücü (girdap vektörünün büyüklüğü) yoğunlaşmalıdır. Sabit miktarda sıvı içeren bir girdap tüpü segmenti söz konusu olduğunda, kesit alanındaki bir azalma tipik olarak uzunlukta bir artış veya esneme gerektirir. Bu esneme, kütlenin korunumu ile ilgili olarak daha sonra inceleyeceğimiz gibi, akışkan yoğunluğunun sabit kalması halinde özellikle gereklidir. Sonuç olarak, bir vorteks tüpünün gerilmesi genellikle yerel vortisite büyüklüğünü artırır.
Bir vorteks tüpündeki vortisite akısının sabitliği, vorteks gerilmesi meydana geldiğinde vortisite büyüklüğünde değişiklikler olması gerekliliğini dayatır. Bir girdap tüpünün kesit alanı zamanla veya uzunluğu boyunca azaldığında, girdap yoğunluğu (girdap vektörünün büyüklüğü) artmalıdır. Azalan kesit alanını belirli bir akışkan miktarı içinde barındırmak için tipik olarak uzunlukta bir artış veya esneme gereklidir.
Girdap filamenti, kesitinde son derece küçük bir maksimum boyuta sahip ince bir girdap tüpüdür. Bir girdap filamentinin kesit alanı da sonsuz küçüktür, ancak filamentin uzunluğu boyunca değiştiği varsayılır ve bu da bir girdap tüpü kriterlerini karşılamasına izin verir. Bir girdap filamenti durumunda, bir kesit boyunca girdap akısı, filamentin yoğunluğu olarak bilinen girdap büyüklüğü ile kesit alanının çarpımına eşittir. Sonsuz küçük bir alandan geçen girdap akısı olarak bu yoğunluk tanımının, birim alan başına enerji akısı olarak tanımlanan bir ışık demetinin yoğunluğu gibi diğer bilinen yoğunluk kavramlarından farklı olduğunu belirtmek önemlidir. Helmholtz’un ikinci teoremi, bir girdap filamentinin yoğunluğunun uzunluğu boyunca sabit kaldığını belirtir. Bu yoğunluk korunumu, bir girdap filamentinin akışkan alanı içinde sonlanamayacağını, ancak ya kapalı bir döngü (girdap döngüsü) oluşturması ya da alanın sınırında sonlanması gerektiğini ima eder.
Sınırın özelliklerine bağlı olarak, girdap filamentlerinin veya girdap çizgilerinin orada sonlanabileceği olası yollara kısıtlamalar getirilecektir. İlk olarak, dönmeyen akış tarafından çevrelenen bireysel bir girdap filamentinin benzersiz senaryosunu inceleyelim. Akışın sabit kalması ve sınırın akışkanın geçemediği bir arayüzü temsil etmesi durumunda, girdap filamenti sınırı yalnızca dik bir şekilde kesebilir.
Bu gereklilik, filamentin çevresinde, filamentin kendisine dik olan düzlemler içinde ağırlıklı olarak dairesel bir akış konfigürasyonuna sahip olma zorunluluğundan kaynaklanmaktadır. Bu normal yönelimden herhangi bir sapma, sınırdan akış olmaması koşuluyla çelişecektir.
Dahası, eğer sınır kaymazlık koşuluna tabi sabit bir katı yüzey ise, filamente dik düzlemler içindeki hız bileşenleri yüzeyde azalmalı, girdap büyüklüğü ise sıfıra yaklaşmalıdır. Sonuç olarak, izole edilmiş bir girdap filamenti, kaymama koşulu ile karakterize edilen katı bir yüzeyde sonlanamaz.
Dağıtılmış vortisite durumunda, vorteks çizgileri kayma ile akışsız bir sınırla kesişebilir ve kesişme normal yönde olmayabilir. Tersine, kayma olmayan sabit bir yüzeyde durum daha kısıtlıdır. Teğetsel hız yüzeyde sıfır olduğundan, yüzeye normal vortisite bileşeni de yüzey boyunca sıfır olmalıdır. Bu nedenle, eğer girdap büyüklüğü sıfır değilse, girdap çizgileri yüzeye teğet olmalıdır. Bu ilke, yüzeydeki vortisite büyüklüğünün sıfır olduğu izole tekil ayrılma veya bağlanma noktaları haricinde, sabit bir nesne etrafındaki viskoz akışta genellikle geçerlidir. Bu gibi durumlarda, bir girdap çizgisi yüzeyle normal bir şekilde kesişebilir, ancak normal girdap bileşeni kesişme noktasında yine de sıfıra yaklaşmalıdır. Sonuç olarak, girdap çizgileri kaymayan bir yüzeyle sadece izole tekil noktalarda kesişebilir. Yukarıda belirtilen istisnaları göz ardı ederek, girdap çizgilerinin kaymaz bir yüzeyle hiç kesişemeyeceği yaygın bir yanlış anlamadır.
Girdaplar kayma olmayan katı bir yüzeye yaklaştıkça, tek bir izole nokta dışında, girdap çizgilerinin yüzeyle kesişmeyi önlemek için yön değiştirmeye zorlandığı açıktır. Bu yeniden yönlendirme genellikle girdapların yüzeyde oluşan viskoz bir sınır tabaka içindeki girdaba katkıda bulunmasıyla sonuçlanır.
1. Şimdi yüksek oranda yoğunlaşmış vortisite ile karakterize edilen akışların idealize edilmiş gösterimleri için geliştirilmiş teorik yapıları inceleyelim. Belirli bölgelerde yoğunlaşmış vortisitenin varlığı, daha sonra tartışılacak olan belirli akışların analizinde çok önemli bir rol oynamaktadır. Örneğin, Bölüm 8’de, vortisitenin başlangıçta ince bir kayma tabakası içinde yoğunlaşmış bir biçimde bulunduğu ve sonunda neredeyse dönmeyen akış tarafından sarılmış iki farklı, az ya da çok eksenel simetrik vortekse dönüştüğü bir kaldırma kanadının arkasında gözlemlenen vortisite modellerini inceleyeceğiz.
2. Bu tür akış olaylarının teorik modellerinde, bu vortikal yapılar genellikle matematiksel olarak ince konsantrasyonlar olarak basitleştirilir, kayma tabakaları vorteks tabakaları ve vorteksler çizgi vorteksleri olarak kavramsallaştırılır. Vortisitenin sıfır kesit alanına sahip bölgelerde yoğunlaşmasına rağmen, bu idealize edilmiş varlıklar sonlu vortisite akıları sergiler. Sonuç olarak, tabaka veya çizginin bulunduğu yerdeki girdap dağılımı tekil veya sonsuz olmalıdır.
3. Bir girdap tabakası ile uğraşırken, tabakanın sonsuz ince doğası nedeniyle entegre alan sıfır kalsa bile, süreç tipik olarak sonlu bir girdap akısı belirlemek için tabakanın sonlu bir genişliği boyunca entegrasyonu içerir. Öte yandan, bir çizgi vorteks için, çizgi boyunca (esasen bir nokta) tek bir entegrasyon sonlu bir akıyı hesaplamak için yeterlidir. Bu kavramların titiz bir şekilde ele alınmasını sağlayan resmi bir matematiksel çerçeve mevcut olsa da, bu teorinin ayrıntılı bir şekilde incelenmesi, altta yatan ilkelerin kapsamlı bir şekilde anlaşılması için gerekli değildir.
Çizgi girdabı ve girdap filamenti, ilk bakışta benzer görünseler de, önemli farklılıklara sahiptirler. İlk olarak, çizgi girdap sıfır kesit alanına sahipken, filament sonsuz küçük bir kesit alanına sahiptir. Ayrıca, bir çizgi girdabın vortisite akısı sonlu iken, bir filamentinki sonsuz küçüktür. Tekil bir vortisite dağılımını temsil eden bir çizgi vorteksi, sadece vortisite vektörüne paralel olan ve tipik olarak vortisitenin sürekli olarak dağıldığı alanlarda bulunan bir vorteks çizgisi ile karıştırmaktan kaçınmak önemlidir.
İki boyutlu düzlemsel akışta çizgi girdabı olarak da bilinen nokta girdabı, iki boyutlu düzleme dik olarak her iki yönde sonsuza kadar uzanan düz bir çizgi ile karakterize edilir. Bu konfigürasyon 2B düzlem içinde tek bir nokta görünümü verir. Çizgi girdabı, Bölüm 3.10’da ayrıntılı olarak açıklandığı üzere, potansiyel akış teorisi çözümlerinin oluşturulmasında temel bir bileşen olarak kullanılabilecek temel tekilliklerden biri olarak hizmet eder. Bununla birlikte, daha karmaşık akışlarda, çizgi girdabı benzersiz bir zorluk teşkil eden eğrilik sergileyebilir. Eğriliğin sıfır olmadığı eğri bir hat girdabı boyunca verilen herhangi bir noktada, girdaba dik olan akışkan hızı sonsuz hale gelir. Sonuç olarak, girdap çizgisinin akış tarafından taşınacağı gerçekçi bir hızın belirlenmesi imkansız hale gelir. Gerçek akışlarda, vortisite sürekli olarak dağılır ve sonlu büyüklüğe sahiptir, böylece sonsuz hızların oluşmasını ortadan kaldırır.
Hız Alanının Vortisite Konsantrasyonları ile İlişkilendirilmesi
Yüksek konsantrasyonlu girdap kavramı sıklıkla girdap tabakası ya da çizgi girdap olarak basitleştirilir. Stokes teoremini kullanarak, şimdi bu idealize edilmiş girdap dağılımlarına karşılık gelmesi gereken yakın çevredeki hız dağılımlarını analiz edebiliriz.
Yukarıdaki (a) olarak etiketlenmiş şekil, 2 boyutlu akışta bir girdap tabakasını göstermektedir. Stokes teoreminin tabakanın kısa bir bölümünü çevreleyen kapalı bir kontura uygulanmasıyla, tabaka boyunca hız büyüklüğünde bir sıçrama olduğu ve bunun yerel girdap gücüne veya girdap vektörüne dik yönde tabaka boyunca birim mesafe başına girdap gücüne eşit olduğu ortaya çıkmaktadır. Bu özel 2B durumda, vortisite vektörü kağıdın düzlemine diktir ve tabaka boyunca mesafe akış yönünde ölçülür. Bu idealize edilmiş girdap tabakasıyla ilişkili fiziksel akış, (b) olarak etiketlenmiş şekilde gösterildiği gibi, hız sıçramasının sonlu bir kalınlığa yayıldığı bir kayma tabakasıdır.
3 boyutlu akış durumunda, bir vorteks tabakası boyunca hız sıçraması, vektörel anlamda, hala vortisite vektörüne dik olmalıdır. Aerodinamikte, hız büyüklüğünde sıçrama olmayan, sadece yönde sıçrama olan bir tabaka ile karşılaşmak yaygındır. Bu gibi durumlarda, hız vektöründeki sıçrama, (c) olarak etiketlenmiş şekilde gösterildiği gibi, tabakanın iki tarafındaki hız vektörlerinin ortalamasının yönüne paralel olan vortisite vektörüne diktir. Eğer vortisite vektörü iki hız vektörünün ortalamasına paralel olmasaydı, hız büyüklüğünde bir sıçrama olması gerektiği gösterilebilir.
Şekilde (c) olarak gösterilene benzeyen girdap tabakaları 3B potansiyel-akış teorisinde sıklıkla modellenmektedir. Hız vektöründeki sıçramanın hız potansiyelinde de bir sıçrama gerektirdiği hız potansiyelinin tanımından açıkça anlaşılmaktadır.
Fiziksel bir kayma tabakası etkin bir şekilde inceyse, yani tabaka boyunca akış değişiklikleri diğer yönlerdeki değişikliklerden çok daha hızlı gerçekleşiyorsa, hız sıçraması yaklaşık olarak eşit büyüklükte ve tabaka boyunca vortisitenin integraline dik olacaktır.
Vortisite ile hız indüksiyonu bir yanılgı mıdır?
Her mühendislik öğrencisi, ister akışkanlar mekaniği ister klasik elektromanyetik ile ilgili olsun, lisans eğitimleri sırasında kaçınılmaz olarak Biot-Savart yasası ile karşılaşır. Bu yasa, bir vektör alanının belirli bir noktadaki kıvrımını anlamanın, vektör alanının farklı bir noktadaki davranışına dair içgörü sağladığını öne sürer.
Başlangıçtaki çekiciliğine rağmen, kavram genellikle neden ve sonuç arasındaki ilişki konusunda belirsizliğe yol açtığı için aldatıcı olabilir. Ayrıca, Navier-Stokes denklemlerinin hızdan girdap formülasyonuna dönüştürülebilmesi ve akışa engeller eklemek için potansiyel akış modellerinin kullanılması, Biot-Savart prensibinin önerdiği gibi girdabın hıza neden olduğu yönündeki yaygın inancı daha da desteklemektedir.
Yanlışlık burada yatmaktadır. Yerçekimi veya elektromanyetik kuvvetlerin yokluğunda, sıradan akışkan akışlarında uzakta bir hareket yoktur. Denklemleri farklı biçimlerde ifade etmek ve Bio-Savart yasasına bir vektör alanı ile onun kıvrımı arasındaki bir hesap ilişkisi olarak atıfta bulunmak, A noktasındaki bir girdabın uzaktaki bir B noktasında bir hıza neden olabileceği anlamına gelmez. Biot-Savart yasası gibi matematiksel bir ilişkinin uzaktaki bir noktadaki hız alanı hakkında hem nicel hem de nitel ayrıntıları çıkarmamızı sağladığı doğru olsa da, akışkanlar mekaniğinde fiziği doğru bir şekilde tasvir etmez. Bu nedenle, doğrudan neden-sonuç ilişkisi klasik elektromanyetikteki muadiline kıyasla bu bağlamda biraz yanıltıcıdır.
Biot-Savart yasası niceliksel hesaplamalar için faydalı olduğunu kanıtlamaktadır. Bununla birlikte, belirli bir noktadaki vortisiteyi anlamanın başka bir noktadaki hız hakkında bilgi çıkarmamızı sağlayan nitel kavram kendi değerini korumaktadır. Bu kavram, akış alanlarını anlamak için en etkili araçlardan biri olarak hizmet eder. Bununla birlikte, gücüne rağmen, neden ve sonucun belirlenmesi söz konusu olduğunda genellikle kafa karışıklığına neden olduğu için iki ucu keskin bir kılıç da olabilir.
Sorun, vortisitenin “girdi”, hızın ise “çıktı” olarak görülmesi nedeniyle ortaya çıkmakta ve vortisiteden çıkarılan hıza indüklenmiş hız olarak atıfta bulunma yaygın uygulamasına yol açmaktadır. Bu durum kolaylıkla vortisitenin bir şekilde “belirlediği” hıza “neden olduğuna” inanılmasına yol açabilir. Ancak bu düşünce tarzı yanlıştır. Önemli yerçekimi veya elektromanyetik cisim kuvvetlerinin yokluğunda, düzenli akışkan akışlarında uzakta hiçbir hareket yoktur. Önemli kuvvetler yalnızca komşu akışkan parselleri arasındaki doğrudan temas yoluyla iletilir.
Bu nedenle, A noktasındaki bir girdap, uzaktaki bir B noktasındaki bir hıza doğrudan “neden olamaz” ve “neden olduğu”, “neden olduğu” ve hatta “nedeniyle” gibi terimler ilgili fiziği yanlış temsil eder. Biot-Savart’ın sadece bir vektör alanı ile onun kıvrımı arasındaki matematiksel bir ilişki olduğunu ve akışkanlar mekaniğinde doğrudan fiziksel bir neden-sonuç ilişkisine işaret etmediğini hatırlamak çok önemlidir. Bu nokta son derece önemlidir ve literatürde yeterince vurgulanmamıştır. Diğer yazarların bu konudaki bakış açılarını keşfetmek ilgi çekicidir. Aerodinamikçiler “indüklenmiş hız” ve “indüksiyon” gibi terimleri bolca kullanarak kafa karışıklığına katkıda bulunmuşlardır. Bu terimler, Biot-Savart yasasının geçerli olduğu başka bir alandan, klasik elektromanyetikten kaynaklanır ve manyetik alanın elektrik akımı tarafından “indüklendiği” belirtilir. Elektromanyetikte bu terminoloji uygundur, çünkü uzaktan gerçek bir etki olduğuna inanılır ve bu da “indüksiyon” terimini fiziksel olarak uygun hale getirir. Ancak akışkanlar mekaniğinde doğrudan nedensel bir bağlantı yoktur. Vortisitenin üretildiğini, taşındığını ve yayıldığını biliyoruz, bu da akış alanlarımızdaki vortisitenin neden var olduğunu açıklıyor: genel akış modelinin bir nedeni olmaktan ziyade bir göstergesi olarak hizmet ediyor.
Bir akış modelinin varlığını açıklığa kavuşturmak için, ilgili gerçek fiziğe, özellikle de belirli bir konumdaki akışkan elemanları içindeki kuvvetlerin dengesine başvurmak gerekir.