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简介 在这篇文章中，我们将探讨纳维-斯托克斯方程所提供的全面而精确的物理理论。通过这些方程，我们可以预测空气动力学中的各种现象，甚至包括像水这样的液体流动。我们将首先研究这些方程对物理学的基本表述、在其发展过程中所做的必要假设，以及这些假设在多大程度上仍然有效。随后，我们将深入研究这些方程的复杂细节，并阐明它们的意义。 连续假设及其有效范围 在 NS 公式中，流体被视为连续物质，称为连续体，具有局部物理特性，可以通过空间和时间方面的连续函数来表示。这些连续特性受到组成气体或液体的单个分子特性以及支配其运动和相互作用的基本物理特性的影响。然而，连续特性只反映了基本物理学的整体效果，而不是具体细节。正如 "文章 1--理解基础概念和理论框架的入门指南 "和 "文章 2--从分子水平看空气动力流的产生 "所展示的，这种方法提供的表示不仅充分，而且在各种条件下都非常精确。 NS 表述的最初历史进程采用了一种自发方法，从一开始就假定了连续行为，并通过在基本流动场景中进行实验来构建粘度效应框架。在这一过程中所投入的大量精力都集中在建立必要的数学结构上，以便从简单的流动扩展到更复杂的流动。 平均过程为我们提供了基本连续流量的精确定义，但它并不能直接将我们引向纳维-斯托克斯（Navier-Stokes，NS）公式。当我们在质量、动量和能量的基本守恒定律上使用平均过程时，我们会遇到两类不同的项，它们代表不同的现象，需要不同的假设： 第一种，仅包含定义连续体密度、温度和速度的简单平均值的术语。无需额外假设，因为这些变量已构成 NS 公式的基础。这些项描述了一个守恒量的局部时间变化率，或一个守恒量通过流动的局部连续速度产生的对流。 第二，包含分子速度乘积的平均值或速度分量与动能乘积的项。这些术语表示与流动的局部连续运动相关的守恒量的传输。热能的传输与分子传导产生的热通量相对应。动量的传输模拟了连续物质受到内应力的影响，从而产生了局部连续静水压力和由粘性效应引起的附加连续 "应力"。仅平均过程就能使这些项保持一种依赖于分子运动的统计错综复杂性的状态，因此有必要进一步简化假设，将其转换为基于我们的基本连续流变量的表达式。 NS 方程涉及代表各种输运现象的项，这些项与局部连续特性有着直接的函数关系。静水压力由平衡热力学关系决定，而热通量和粘性 "应力 "则由梯度-扩散表达式描述，其中守恒量的通量与其梯度成正比。如 NS 方程所述，对于粘性应力表现出这种行为的流体通常被称为牛顿流体。然而，要从通过平均过程获得的更一般的表达式中得出这些简化形式，需要对相关的物理学原理做出某些简化假设。就气体而言，有必要假设流体始终处于局部热力学平衡状态。这意味着出现在完整输运表达式中的分子速度概率分布函数必须与其平衡形式非常接近。要做到这一点，就要求只有在长度和时间尺度远大于无平均路径和时间的情况下才能发生重大变化。当这些条件得到满足时，即局部偏离平衡的程度很小，与迁移相关的项就可以用 NS 方程中使用的简单关系准确地表示出来。 对话定律 NS 方程中的基本关系是质量、动量和能量守恒的基本原则。为了建立一套完整的方程，有必要包含一个连接温度、压力和密度的状态方程，以及定义其余气体性质的表达式。在空气动力学领域，假设理想气体定律、固定比热比（γ）以及仅取决于温度的粘度和导热系数（μ 和 k）通常是一个合理的近似值。在恒温条件下，输送系数 μ 和 k 与密度无关，这似乎有悖常理。然而，这种现象有一个简单明了的解释。随着密度的增加，由于单位体积内需要传输的动量和热能的质量增大，人们可能会认为传输系数会上升。然而，随着密度的增加，分子平均自由路径会减小，从而阻碍分子传输。在理想气体近似水平上，单位体积质量增加和平均自由路径减少的影响相互抵消。因此，在实际应用中，分子传输的效率完全取决于分子的平均速度，或者换句话说，取决于温度。在某些公式中，局部声速（"a"）是一个因素，在理想气体中，它也完全取决于温度。 边界条件的重要性 纳维-斯托克斯方程（NS）与其他场方程一样，需要边界条件（BC）才能正确求解。当涉及流动边界时，即流动简单地进入或流出域时，NS 方程本身决定了可以施加的 BC 的可能组合，以及以不同方式 "确定 "解所需的组合。然而，在处理与其他材料（如气-固或气-液界面）相交的边界时，NS 方程本身并不能完全确定情况。在这种情况下，必须引入额外的物理学原理。根据理论模型和实验证据，可以观察到工程实践中遇到的大多数液体和固体表面与空气在普通条件下的相互作用是这样的：空气的速度和温度几乎完全适应表面的速度和温度。因此，假设 "壁 "处无滑移（液体和固体之间无相对运动）和无温度跃变，并相应施加 BC，可提供极其精确的近似值。 然而，正确理解无滑动 BC 非常重要。在某些描述中，流体被描述为 "粘附...

要分析体积和曲面积分的物质导数，我们首先要定义物质导数，也称实质导数。然后，我们将使用数学符号和向量微积分的概念来研究它在体积和曲面积分中的应用。 实质导数https://www.youtube.com/watch?v=xlxK0VuY9yY 导数 D/Dt，也称为材料时间导数，实际上是一个固定材料点的量 B 的时间导数。材料点通常由 t = 0 时的初始位置矢量定义。材料点在任意时间 t > 0 的位置矢量由以下公式给出：为任意材料点 x0 定义的任何流动变量将由 B（x0,t).因此，相应的空间描述将是 B.根据上述描述，我们可以说有两种时间导数：这两种导数之间的关系可以通过链式法则得到：在固定空间位置上的时间导数称为欧拉时间导数，在固定物质点上的时间导数称为拉格朗日时间导数。 现在来谈谈体积积分的物质导数，即雷诺输运定理（Reynolds Transport Theorem）：当积分本身的极限与时间有关时，上述定理只不过是莱布尼茨微分法则的扩展。 将导数的通常定义，即 "delta t "趋于 0 的极限，应用于上式的左侧，我们可以得到现在我们在上式中加上并减去以下项：方程就变成了第二项就是而 第一学期 可改写为这表明它是 B 为了求出上述积分，任何微分元素 dAm 的 Vm(t）将移动一段距离（u.n） δt.dAm 在时间间隔 δt 内。因此，上述对 Vm(t+δt) - Vm(t）将转换为其中 Am 因此 雷诺输运定理 将是再进一步，应用高斯发散定理对上式右边的面积积分进行运算，就可以得到我们熟悉的上式等价微分形式。 让我们以一个简单的应用为例，用密度...

能量守恒 热力学第一定律（即能量守恒原理）指出，拉格朗日流体包裹中储存的能量变化等于从热量或机械功等外部来源向其添加能量的速度。对于初学热力学的学生来说，这一原理有两个方面可能比较陌生。首先，流体包裹的运动在整个能量平衡中起着重要作用，因此必须将流体包裹的体动能视为储存能量的一种形式。其次，必须认识到，不仅是压力，粘滞力也会导致系统的能量增加机械功。 包裹内的热量传递主要通过两种机制进行：电磁辐射和分子传导。电磁辐射涉及包裹内能量的吸收或发射，而分子传导则是指热量穿过包裹边界的传递。值得注意的是，辐射效应与体积成正比，被称为 "体 "效应，而传导效应则与表面有关。在空气动力学中，表面效应通常比主体效应更重要。对包裹做的机械功与动量守恒中涉及的力相同。在空气动力学中，外部体力通常可以忽略不计，重点是邻近包裹施加的力。然而，流体内应力对能量守恒的影响比动量守恒更为复杂。动量守恒只考虑包裹上的净力，而能量守恒还考虑包裹质心移动距离上的净力，这些净力会导致包裹体动能的变化。 不过，还需要考虑其他因素。如果包裹发生变形，无论是体积变形还是剪切变形，包裹边界的某些部分都会相对于质量中心发生移动。这种移动会对包裹产生巨大的功。此外，通过压缩或膨胀对包裹施加的压力会产生加热或冷却效果。此外，包裹还会因粘性应力而产生热量，这种现象被称为粘性耗散。 湍流提出了与能量守恒有关的引人深思的问题。湍流通常通过理论模型进行分析，这些模型侧重于时间平均值，有效地平滑了非稳态湍流运动。在时间平均流场中，与湍流相关的动能成为一种需要考虑的重要能量形式。不过，在许多流动情况下，湍流动能（TKE）的产生和耗散在局部大致平衡，因此可以忽略 TKE：能量守恒:热力学第一定律指出，能量不能被创造或毁灭，只能从一种形式转化为另一种形式。这包括考虑包裹内动能、势能和内能的变化。 能量的形式:详细介绍了流体包裹中的各种能量形式，包括体动能、内能（受压力和粘性力影响）以及电磁辐射和分子传导等热传递机制。 机械功:解释了流体包裹上机械功的作用，指出机械功可以由外力（如压力）和流体内应力共同作用，内应力可能来自相邻包裹或包裹本身的变形。 变形和压缩效应:讨论了包裹变形和压力变化对能量平衡的影响，强调了这些因素如何导致包裹做大量的功并影响其热状态。 粘性耗散:粘性耗散现象是指由于流体粘性将机械能转化为热能，被认为是影响能量守恒的一个因素。 湍流:湍流给能量守恒带来了额外的复杂性，特别是关于湍流动能（TKE）的产生和耗散。虽然湍流动能在湍流中非常重要，但在某些情况下，其产生和耗散率大致平衡，因此可以忽略不计。总之，我们试图解释热力学原理如何适用于流体包裹，特别是在空气动力学背景下，并强调在分析此类系统的能量守恒时必须考虑的各种因素。 各种物理量与边界条件之间的关系 我们刚刚研究了拉格朗日参照系中的基本守恒定律。无论是在拉格朗日参照系还是欧拉参照系中应用这些定律，都会产生五个方程，我们面临八个未知数。这些未知数包括三个空间坐标（拉格朗日式）或速度分量（欧拉式），以及五个局部材料和热力学属性：压力、密度、温度、分子粘度系数和热导系数。要完全定义系统，还需要三个附加的构成关系。在空气动力学中，这些关系式通常包括理想气体状态方程（将压力、密度和温度联系起来）、萨瑟兰定律（将粘度与温度单独联系起来）和普朗特导热关系式。 全面的纳维-斯托克斯（NS）系统包含了我们分析所需的所有内部流体物理学。说到流域的边界，我们必须应用的特定边界条件取决于相关边界的类型。在流动边界的情况下，由于 NS 方程本身决定了哪些边界条件是允许的，哪些是必须的，这取决于流动情况，因此不需要调用辅助物理学。然而，在处理与另一种材料（通常称为 "壁"）相接的边界时，则需要额外的物理因素来精确定义边界条件。 边界条件规定了系统在其边界或界面上的行为。它们对于求解支配物理现象的微分方程至关重要，通常用于模拟系统内不同材料或区域之间的相互作用。一些常见的边界条件类型包括迪里夏特边界条件:这些条件规定了因变量（如温度、速度）在域边界的值。 诺依曼边界条件:这些条件规定了因变量在边界上的梯度或通量，而不是其绝对值。 罗宾边界条件:也称为混合边界条件，规定了边界上规定值和梯度的组合。 周期性边界条件:用于模拟边界环绕形成周期性区域的系统，如周期性结构或通道中流体流动的模拟。 界面条件:在模拟不同材料或相之间的相互作用时，界面条件规定了应力、位移或热通量等量在界面上的关系。构造关系描述了材料或流体中各种物理量之间的关系。这些关系通常取决于材料特性，并可能根据材料或流体所处的条件而变化。一些常见的构成关系包括应力-应变关系:在固体力学中，这些关系描述了材料内部应力（单位面积的力）与应变（变形）之间的关系。不同的材料表现出不同的应力应变行为，如弹性、塑性或粘弹性反应。 流体应力应变关系:对于流体，构成关系通常描述应力（剪应力、法向应力）与应变率（变形率）之间的关系。这些关系可能涉及牛顿流体的粘度等参数，也可能涉及非牛顿流体的更复杂模型。 热力学关系:在热力学中，构成关系描述了压力、温度和密度等属性在不同条件下的关系。状态方程，如理想气体定律或实际气体的更复杂公式，都是热力学构成关系的例子。 电磁关系:在材料科学和电磁学中，构成关系描述了导电率、介电常数和磁导率与电场和磁场的关系。方程的数学特性 所提出的方程系统包括五个场 PDE 和三个代数构成关系，共八个未知数。这些方程在空间上表现出双曲/椭圆混合性质，需要边界条件才能在整个域内求解。虽然数值求解可以在时间上向前推进，但空间上的推进并不可行。由于方程的非线性，一般无法通过叠加求解。即使是稳流求解，也需要一种超越单一矩阵反演的方法，如时间行进或迭代过程。这些复杂性将在 CFD 方法中进一步探讨。NS 方程的解并不总是唯一的，尤其是当多个稳流解对应于同一几何体时。虽然理论上存在无湍流解，但它们在高雷诺数时通常动态不稳定，在自然界中也很少观察到。https://www.youtube.com/watch?v=XoefjJdFq6k 由于上述挑战，只有在尺寸缩小、流体性质不变的少数简单情况下，才有可能找到 NS 方程的解析解。即使在这些情况下，解法也只适用于某些可以忽略惯性影响的限制条件。例如，二维或圆形横截面的平面管道或管道中稳定、充分发展的流动存在一维解法，在低雷诺数条件下，环绕圆形圆柱体或球体的流动也存在二维解法。在涉及高雷诺数的情况下，可以使用边界层理论获得二维 NS 方程的近似解，这只需要求解一维常微分方程 (ODE)。然而，对于更一般的流动，除非可以做出简化假设，否则数值解法是唯一可行的选择。 欧拉框架 在欧拉框架中，观察的重点是流体在经过指定空间框架内的特定点时的行为。不再像拉格朗日框架那样监测流体固定部分的变化，而是将重点转移到观察集成到空间坐标系中的无限小体积元素内的行为。在欧拉框架中，这些体积元素有连续的流体流过，并流过它们的边界。这种流动反映了在拉格朗日框架中观察到的运动。视角的改变要求在应用守恒定律时对对流过程进行不同的处理。在拉格朗日方法中，对流是通过固定流体包裹的定义来隐含考虑的，由于定义中不存在这种运动，因此守恒方程中没有任何项会考虑包裹边界的对流。与此相反，在欧拉方法中，跨体积元素边界的流体流动很常见，对流过程必须作为附加项明确包含在方程中。 在数学上，当我们将时间导数替换为拉格朗日方程中的时间导数替换为欧拉方程中的时间导数时，就会产生附加项：欧拉方程包含考虑对流效应的项，这些项来自右侧的 V -∇ 项。为了说明这一概念，让我们来研究一个拉格朗日包裹的动量 x 分量，其体积为 dV，表示为 ρ udV。通过将上述方程应用于这个特定的量，我们可以进一步理解其含义：等式右侧第二个项以最基本的形式表示欧拉 x-动量方程中的动量对流。学术著作中经常出现的另一种表示方法是将密度移到导数之外，从而与拉格朗日加速度 Du/Dt 建立更清晰的联系。 为了得到这种替代形式，有必要引用质量守恒原理，该原理在拉格朗日的表述中断言，拉格朗日包裹的质量随时间保持不变。如果我们再次使用实质导数定义，我们可以得出对流过程详解 现在让我们深入探讨对流过程。一个公认的事实是，对流在两个包裹之间的共同边界上是对等的。这一概念可以类比于力学中的牛顿第三定律，即两个接触物体所受的力必须相等且相反。这种平衡是必要的，因为在界面上没有维持不平衡力的机制。在考虑共用边界的两个流体包裹时，没有任何机制可以改变守恒量的通量，因此离开一个包裹的通量必须等同于进入另一个包裹的通量。在一般的 Navier-Stokes 公式中，我们不需要明确执行这种互易性，因为所有流动变量的连续性本身就维持了这种互易性。然而，在涉及不连续性的专门理论中，例如不粘性解中的冲击建模，则需要额外的方程来确保跨不连续性的守恒关系得以维持。 守恒方程中的对流项有明确的物理解释。当进入体积元素的对流速率与流出的对流速率不平衡时，对流作为守恒量的来源，需要在守恒定律中加以考虑。这些术语表示一个守恒量运入或运出一个体积元素的总速率。在质量守恒的情况下，这种净对流是导致元素内总质量随时间变化的唯一因素，尤其是在稳定流动条件下，进入和流出元素的质量通量必须相等。这一原则不仅适用于局部小块，也适用于较大的体积，例如稳定流动的流管，在这种情况下，通过与流管相交的任何表面的质量通量都必须保持恒定。净对流在保持动量和能量守恒的平衡方面起着至关重要的作用，但也必须考虑作用在流体上的外力（动量和能量）以及热传导的影响。https://www.youtube.com/watch?v=g-5bi7dxHP4 我们公式中的动量和能量平衡可能会受到外部因素的影响，例如作用在流体上的引力或电磁力，以及通过吸收和发射辐射进行的热传递。这些影响都很容易计算。此外，不直接接触的流体块之间的力或能量交换（称为内部非局部效应）也会影响平衡。然而，在空气动力学中，这些外部效应和内部非局部效应通常被认为是可以忽略不计的。因此，我们的方程中只需表示通过包裹间直接接触传递的效应。这包括由表观内应力代表的包裹间作用力，以及由于传导而在相邻流体包裹间交换的热通量。需要注意的是，这些量与流体材料没有物理联系，也不与流体材料一起对流。它们不受参照系速度变化的影响，在欧拉和拉格朗日参照系中显示相同。 在空气动力学中观察到的典型情况是，流体内力的主要传递发生在相邻流体块之间。同样，欧拉框架中的对流效应也只发生在相邻的欧拉模型之间。因此，在我们的传统空气动力流中，不存在任何形式的 "远距离力 "交换机制，从而排除了远距离 "感应 "或类似效应。尽管比奥特-萨瓦特定律可能暗示存在远距离感应效应，但将某一点的速度视为由另一点的涡度 "感应 "或 "引起 "是错误的。这只是流体力学领域因果关系归因难题的一个例证。动机...

在考虑流场内的涡度分布时，我们拥有一系列有价值的概念。首先，我们将重点讨论那些适用于涡度连续分布的典型现实场景的概念。在涡度不等于零的任何区域，都可以建立一条涡线，作为与涡度矢量平行的空间曲线。这类似于流线与速度矢量的对齐方式。因此，在涡度场中，涡旋线与速度场中的流线相似。正如我们将流线的概念扩展到包括流管一样，我们同样可以将涡线的概念扩展到包括涡管。 根据涡管的定义，涡管边界上的涡度通量本身为零。此外，根据矢量特性，矢量（特别是速度，其卷曲度代表涡度）的卷曲发散为零。因此，涡旋管的任何横截面上的通量都是恒定的，与沿长度方向的位置无关。 涡旋管内涡度通量的恒定性决定了涡度大小的变化必须伴随着涡旋的拉伸。当涡旋管的横截面积减小时，无论是随着时间的推移还是沿其长度方向，涡度的强度（涡度矢量的大小）必须增强。对于含有固定量流体的涡旋管段来说，横截面积的减小通常意味着长度的增加或拉伸。如果流体密度保持不变，这种拉伸尤为必要，我们稍后将结合质量守恒进行探讨。因此，涡管的拉伸通常会增加局部涡度的大小。 涡旋管中涡度流量的恒定性决定了涡旋拉伸时涡度大小变化的必然性。当涡旋管的横截面积减小时，无论是随着时间的推移还是沿其长度方向，涡度强度（涡度矢量的大小）必须增加。为了在一定量的流体中容纳缩小的横截面积，通常需要增加长度或拉伸。涡丝是一种细长的涡管，其横截面的最大尺寸极小。涡流丝的横截面积也非常小，但假定它沿长度方向变化，因此符合涡流管的标准。在涡丝的情况下，横截面上的涡度通量等于涡度大小与横截面积的乘积，即涡丝强度。值得注意的是，强度的定义是通过无限小面积的涡度通量，这与我们熟悉的其他强度概念不同，例如光束的强度被定义为单位面积的能量通量。亥姆霍兹第二定理指出，涡丝的强度沿其长度方向保持不变。强度守恒意味着涡旋丝不能在流体域内终止，而必须形成一个闭合环（涡旋环）或在域的边界终止。根据边界的特性，涡旋丝或涡旋线终止于边界的可能方式将受到限制。让我们首先研究一下被非旋转流包围的单个涡旋丝的独特情况。如果流动保持不变，而边界又是流体无法通过的界面，那么涡旋丝只能以垂直的方式与边界相交。这一要求源于在丝线附近，在垂直于丝线本身的平面内，必须有一个主要为圆形的流动结构。任何偏离这一正常方向的情况都与不流经边界的条件相矛盾。此外，如果边界是一个受无滑动条件限制的固定固体表面，垂直于丝状物的平面内的速度分量在表面处必须减小，而涡度大小必须趋近于零。因此，孤立的涡旋丝不可能终止于以无滑动条件为特征的固体表面。 在分布式涡度的情况下，涡旋线可以与有滑移的无贯通流边界相交，而且交点可能不在法线方向。相反，在没有滑移的静止表面上，情况就会受到更多限制。由于表面上的切向速度为零，因此表面法线方向的涡度分量也必须始终为零。因此，如果涡度大小不为零，则涡线必须与表面相切。在静止物体周围的粘性流动中，这一原则通常是成立的，但表面上的涡度大小为零的孤立奇异分离点或附着点除外。在这种情况下，涡流线可以与表面正常相交，但在交点处的法向涡度分量仍必须趋近于零。因此，涡旋线只能在孤立的奇异点上与无滑动表面相交。一个常见的误解是，不考虑上述例外情况，涡旋线根本无法与无滑动表面相交。 很明显，当涡旋接近具有无滑动条件的固体表面时，除了个别孤立点之外，涡旋线都会被迫改变方向，以防止与表面相交。这种改变方向往往会导致涡旋在表面形成的粘性边界层内产生涡度。 1.现在，让我们来探讨一下为理想化描述以高度集中的涡度为特征的流动而设计的理论结构。特定区域的集中涡度在某些流动的分析中起着至关重要的作用，我们将在后面讨论。例如，在第 8 章中，我们将深入研究在升力翼后面的尾流中观察到的涡度模式，其中涡度最初以集中形式存在于薄剪切层中，最终过渡为两个不同的、或多或少具有轴对称性的涡旋，所有涡旋都被几乎不旋转的流动所包围。 2.在此类流动现象的理论模型中，这些涡旋结构通常被简化为数学上的薄集中，剪切层被概念化为涡片，涡旋被概念化为线涡。尽管涡度集中在横截面积为零的区域内，但这些理想化的实体表现出有限的涡度通量。因此，涡片或涡线位置的涡度分布必须是奇异的或无限的。 3.在处理涡片时，通常需要对有限宽度的涡片进行积分，以确定有限的涡度通量，尽管由于涡片无限薄，积分面积仍为零。另一方面，对于线状涡旋，只需对线状涡旋（基本上是一个点）进行一次积分，就足以计算出有限的通量。虽然有一个正式的数学框架对这些概念进行了严格的处理，但要全面理解其基本原理，并不需要对这一理论进行详细的探讨。线状涡旋和涡旋丝虽然乍看起来很相似，但却有着显著的区别。首先，线涡的横截面积为零，而涡丝的横截面积非常小。此外，线状涡的涡度通量是有限的，而丝状涡的涡度通量是无限小的。线状涡旋代表涡度的奇异分布，而涡旋线仅与涡度矢量平行，通常出现在涡度连续分布的场中，因此必须避免混淆线状涡旋和涡旋线。 在二维平面流中，点涡旋也称为线涡旋，其特征是一条直线在垂直于二维平面的两个方向上无限延伸。这种构造给人一种二维平面内只有一个点的感觉。如第 3.10 节所述，线涡旋是基本奇点之一，可作为构建势流理论解的基本组成部分。然而，在更复杂的流动中，线涡可能会呈现出曲率，这就带来了一个独特的挑战。在曲率不为零的弯曲线涡旋沿线的任何给定点，垂直于涡旋的流体速度都会变得无限大。因此，要确定涡流线被流动带走的实际速度是不可能的。在实际流动中，涡度是连续分布的，并具有有限的大小，因此不会出现无限速度。https://www.youtube.com/watch?v=VTQaU6l-VPQ 将速度场与涡度浓度联系起来 高度集中涡度的概念经常被简化为涡片或线涡。利用斯托克斯定理，我们现在可以分析与这些理想化涡度分布相对应的邻近地区的速度分布。上图（a）展示了二维流动中的涡片。通过将斯托克斯定理应用于包围涡旋片一小段的封闭轮廓，可以明显看出，涡旋片上的速度跃迁等于局部涡度强度或垂直于涡度矢量方向上沿涡旋片单位距离的涡度。在这种特殊的二维情况下，涡度矢量垂直于纸张平面，沿纸张的距离是沿流动方向测量的。如图（b）所示，与这种理想化涡流片相关的物理流动是剪切层，速度跃迁分布在有限的厚度上。 在三维流动的情况下，涡旋片上的速度跃迁在矢量意义上仍必须垂直于涡度矢量。在空气动力学中，经常会遇到速度大小没有跃变，只有方向跃变的涡片。在这种情况下，速度矢量的跃变垂直于涡度矢量，而涡度矢量平行于片面两侧速度矢量平均值的方向，如图（c）所示。可以证明，如果涡度矢量不平行于两个速度矢量的平均值，就会出现速度大小的跳跃。 在三维势流理论中，经常会出现类似（c）图中描述的涡片。从速度势的定义中可以明显看出，速度矢量的跃迁必然导致速度势的跃迁。 如果物理剪切层实际上很薄，即穿过剪切层的流动变化比其他方向的变化快得多，那么速度跃变的大小将大致相等，并且垂直于穿过剪切层的涡度积分。 涡度的速度感应是谬误吗？ 无论是流体力学还是经典电磁学，每个工科学生在本科学习期间都不可避免地会遇到毕奥-萨瓦特定律。该定律表明，了解矢量场在特定点的卷曲度，就能洞察矢量场在不同点的行为。尽管这一概念最初很吸引人，但它可能具有欺骗性，因为它通常会导致因果关系模糊不清。此外，将纳维-斯托克斯方程从速度公式转换为涡度公式的能力，以及利用势流模型为流动引入障碍物的做法，进一步支持了人们普遍认为涡度导致速度的观点，正如毕奥-萨瓦特原理所暗示的那样。谬误就在于此。在没有引力或电磁力的情况下，普通流体流动不存在远距离作用。用不同的形式表达方程，并将毕奥-萨瓦特定律称为矢量场及其卷曲之间的微积分关系，并不意味着 A 点的旋涡可以在遥远的 B 点产生速度。虽然像毕奥-萨瓦特定律这样的数学关系确实可以让我们推导出遥远点速度场的定量和定性细节，但在流体力学中，它并不能准确地描述物理学。因此，与经典电磁学中的直接因果关系相比，在这种情况下直接因果关系有些误导性。 事实证明，Biot-Savart 定律有利于定量计算。然而，了解特定点的涡度就能推导出另一点的速度信息这一定性概念也有其自身的价值。这一概念是理解流场最有影响力的工具之一。然而，尽管它很有效，但也可能是一把双刃剑，因为在确定因果关系时，它经常会造成混乱。 涡度被认为是 "输入"，而速度被认为是 "输出"，这就导致了将从涡度推导出的速度称为诱导速度的普遍做法。这很容易让人认为涡度在某种程度上 "导致 "了它 "决定 "的速度。然而，这种思路是不正确的。在没有明显引力或电磁体力的情况下，常规流体流动中不存在远距离作用。只有通过相邻流体包裹之间的直接接触，才会产生重要的作用力。 因此，A 点的旋涡不可能直接 "引起 "远处 B 点的速度，而 "引起的"、"诱发的 "甚至 "由于 "等术语都歪曲了相关的物理学原理。重要的是要记住，Biot-Savart 只是矢量场与其卷曲之间的数学关系，在流体力学中，它并不表示直接的物理因果关系。这一点至关重要，但在文献中却没有得到足够的强调。探讨其他作者对这一问题的看法是很有意义的。空气动力学家随意使用 "诱导速度 "和 "感应 "等术语，造成了混淆。这些术语源于另一个领域，即经典电磁学，在该领域适用比奥特-萨瓦特定律，并指出磁场是由电流 "诱发 "的。在电磁学中，这一术语是合适的，因为人们相信存在真正的远距离作用，因此 "感应 "一词在物理上是合适的。然而，在流体力学中，并不存在直接的因果联系。我们知道，涡度是产生、传输和扩散的，这就解释了为什么我们的流场中会存在涡度：它更多地是作为整体流动模式的指示，而不是其原因。为了阐明流动模式的存在，有必要参考所涉及的实际物理学，特别是特定位置流体元素内部的力平衡。https://www.youtube.com/watch?v=ikezauFFe0whttps://www.youtube.com/watch?v=Ur4k8cAuQUY

艾米莉亚·迈尔如今的焦点越来越多地转向可持续发展以及公司及其在市场上推出的产品对环境的影响。 基于此，企业被迫重新思考产品的设计和客户的体验。 有一个被广泛引用的统计数据说 产品 80% 的生态影响在设计阶段就已确定。 重新设计可持续发展的压力越来越大的主要原因之一是，生命周期排放不断从产品运营转移到产品生产。 这种转变的一个很好的例子是汽车行业从内燃机向零排放电动汽车的转变，这正在改变乘用车的生命周期排放状况。 事实上，电动汽车在使用阶段产生的排放较少，但在电池中需要额外的碳密集型材料。 这些例子对制造公司来说是重大挑战，他们需要使产品更具可持续性、耐用性、通过设计更容易回收并保持竞争力。 但巨大的挑战中蕴藏着巨大的机遇，现在是变革的最佳时机。 因此，问题是：公司如何帮助加速可持续发展转型的执行并保持盈利，同时利用技术实现加速并帮助扩大影响。 我们计算产品碳足迹的解决方案有一个明确的目标，即帮助客户创造具有成本效益和可持续的产品。 举个例子，用回收材料代替原材料可以减少产品的碳足迹，但如果回收材料远离制造地点，运输排放可能会掩盖所获得的好处。 因此，为了做出基于事实的决策，您需要有关二氧化碳当量足迹以​​及与不同材料和制造工艺相关的成本的准确数据。 这意味着您需要一个能够让您快速准确地模拟不同场景的解决方案。 观看有关我们的产品碳足迹计算器的简短视频：https://www.youtube.com/watch?v=SvrnE8hh4Co准备好衡量您的成本和碳足迹并制定可行的减排目标了吗？ 我们的解决方案采用集成方法，是您了解产品成本和碳排放的单一接入点：将价值链上的成本和二氧化碳当量排放联系起来： 产品碳足迹解决方案遵循自下而上的二氧化碳排放分析工作流程，总结了价值链上产品的所有相关排放因子。 产品碳足迹解决方案考虑了从原材料或回收材料的提取、前体的制造到最终产品的生产以及离开公司大门（从摇篮到大门）的所有流程。它提供了碳足迹明细以及成本分析，揭示了在价值链上减少碳足迹和产品成本的机会。 由于分析是在粒度级别上进行的，因此公司可以制定生态设计策略，例如：通过使用系统方法，将产品规划、开发和设计过程中的生态方面整合到整个产品中，实现资源效率设计或回收设计生命周期。模拟减少产品碳足迹的选项： 通过使用包含金属、聚合物、复合材料、粉末材料和能源组合等材料数据 CO2e 排放值的集成数据库，可以对材料替代、减轻重量、提高材料回收率、制造工艺优化等进行模拟来自各个国家和地区。考虑征收碳税： 从更广泛的角度来看，监管机构在影响公司遵守的可持续性设计方面也发挥着重要作用。 因此，计算成本时要考虑的一个相关因素是碳税，这促使公司将其产品的碳足迹公开。 因此，产品碳足迹计算器可用于计算碳税。遵循国际标准和规则： 产品碳足迹按照德国标准化协会 (DIN)、欧洲标准 (EN) 和国际标准化组织 (ISO) 14067 规定的产品通用标准以及温室气体协议产品标准计算。

美国科罗拉多州威斯敏斯特，2024 年 2 月 21 日 – Trimble（纳斯达克股票代码：TRMB）宣布推出适用于铣床和冷刨机的 Trimble Roadworks 摊铺控制平台，扩展了 Trimble 下一代 3D 摊铺控制系统的功能。 适用于铣刨机和冷铣刨机的 Trimble Roadworks 在 Android 操作系统上运行，使操作员能够根据项目设计精确控制铣刨机或冷铣刨机的切削深度。直观的系统使操作员能够满足最复杂项目的最苛刻规格，最大限度地减少过度切割，并在机场跑道、高速公路、赛道和其他需要最佳平滑度的项目上创建更平滑的表面。 3D 设计会向机器操作员显示，显示处于理想坡度、高于或低于理想坡度的区域，并将实际滚筒位置和坡度与数字设计进行比较。 平台自动引导铣刨鼓切削理想的深度和坡度，无需拉线或手动调整。“机场跑道和交通繁忙的高速公路等复杂的铺路项目具有建筑行业中最严格的规格，”Trimble 土木专业解决方案总经理 Kevin Garcia 说道。 “用于铣削和冷刨的 Trimble Roadworks 消除了铣削过程中的猜测和返工，使操作员可以轻松地精确铣削至 3D 设计标高。 这样做的好处贯穿整个摊铺过程，减少了摊铺机的工作量，减少了沥青的使用，并提高了整体表面的光滑度。”铣削和冷刨软件具有与现有 Trimble Roadworks...

浦那，2024 年 2 月 13 日： Tata Elxsi 是世界领先的设计和技术服务提供商之一，战略性地扩大了其在浦那的业务，在 Chinchwad 的 Sukhwani 商业中心开设了一个新的全球设计和工程中心。 新中心专为满足主要汽车原始设备制造商和一级供应商的技术和数字化转型优先事项而量身定制。 它将容纳 1000 多名工程师、设计师和技术专家以及先进的实验室，以引领软件定义车辆、互联服务、自主技术、电气化、机电一体化和设计领域的工程研发协作计划。Tata Elxsi 的主要汽车客户和高级领导出席了新中心的启动仪式。 该中心由塔塔汽车公司总裁兼首席技术官 Rajendra Petkar 先生主持开幕。值此之际发表评论， Rajendra Petkar 先生，塔塔汽车公司总裁兼首席技术官 说， “我祝贺 Tata Elxsi 在浦那 Sukhwani 商业中心推出了新的设计和工程中心。 二十多年来，Tata Elxsi 一直是塔塔汽车的战略合作伙伴。 我们与他们在互联汽车、数字化、AUTOSAR、ADAS、电气化、机械设计和工程等多个项目上进行了合作。 这个新中心的位置靠近我们位于浦那的工厂，可促进汽车行业未来技术的高水平合作。” Manoj Raghavan，Tata Elxsi...

亚历山德鲁·福莱未来的交通有望让每个人的生活更加安全、更加便捷，并带来积极的经济成果。 然而，为了实现这一承诺，有必要测试新车及其架构的每个子系统，特别是当子系统变得更加智能和高度复杂时。复杂性的增加需要彻底改变测试方法和新概念，以在物理和虚拟世界中进行全面的车辆验证和验证，这在新法规中得到了体现。 从这个意义上说，2021 年 2 月，UNECE（联合国欧洲经济委员会）提出了自动驾驶新评估/测试方法（NATM）——一个框架，引入了自动驾驶安全验证的多支柱方法（参见图。1） 新奥法, 指南。此外，欧盟委员会于 2022 年 8 月通过了第 2022/1426 号条例，规定了欧洲议会和理事会第 2019/2144 号条例 (EU) 的适用规则，涉及型式认证的统一程序和技术规范全自动车辆的自动驾驶系统（ADS） 2144, 1426。 什么是AV的多支柱安全验证？ 自动驾驶汽车的多支柱安全验证指定了 5 个认证支柱，支持安全论证。 除了众所周知的三大支柱（跟踪测试, 真实世界的测试 和 审计），规定中提到 虚拟测试 和 运行中监控。 在本博客中，验证、确认、认证和保证的定义/描述如下：确认：是一项确定系统是否满足要求的活动，回答以下问题：“我们构建的系统正确吗？” 验证：正在评估系统是否满足最终用户的需求，回答以下问题：“我们是否构建了正确的系统”。 另一方面， 模型验证 正在评估模型代表现实的程度。 保证：有理由相信系统按预期运行。 认证：确定系统是否符合一组准则或标准。就自动驾驶汽车而言，科学界很早就意识到，从经济和技术的角度来看，仅使用基于里程的覆盖范围进行实际测试是不可行的。 主要原因之一是在现实世界的测试中，与安全相关的事件很少发生。 由此可见，虚拟测试将在自动驾驶系统的认证中发挥关键作用。 当且仅当模拟可信时，虚拟测试的结果才能有助于安全论证，这将在下一节中简要讨论，并在 新奥法, 指南。 虚拟测试与仿真可信度评估 在虚拟测试中，我们用模拟模型替换一个或多个物理元素。用于自动驾驶系统（ADS）验证的虚拟测试可以实现不同的目标，具体取决于总体验证策略和底层仿真模型的准确性。 一些目标可能是：为整个系统的安全性提供定性或统计信心。 提供对特定子系统/组件性能的定性或统计信心。 发现在现实世界中进行测试的具有挑战性的场景（例如现实世界测试和跟踪测试）。与它的所有潜在好处相比，这种方法的局限性在于其模型固有的有限保真度。 由于模型只能提供现实的粗略表示，因此需要仔细评估模型是否适合替代现实世界来验证 ADS 的安全性。因此，应评估图2所示的仿真模型和仿真环境的可信度，以确定结果与实际性能相比的可转移性和可靠性。 除了仿真模型和仿真环境之外，可信度评估还延伸到模型和仿真管理。 所有这些方面都在图...

美国加利福尼亚州旧金山，2024 年 2 月 12 日 – 全球制造公司 Fictiv 宣布发布 Materials.AI，这是一款由 ChatGPT 提供支持的业界首款 AI 助手，可帮助机械工程师快速轻松地选择适合其制造需求的材料选项。Materials.AI 通过与 Fictiv 数字制造平台的 API 集成，由 OpenAI 的 ChatGPT 技术提供支持，并接受了 Fictiv 制造数据和产品的广泛培训。 因此，工程师可以直接在 Fictiv 平台上咨询 Materials.AI，接收明智的材料建议，并下达制造订单——所有这些都在一个地方按需完成。 随着材料科学和 3D 打印等制造技术的快速发展，工程师在选择可用的不同材料选项时可能会感到困惑且耗时。 对于单一设计，可能有几种合适的材料，并在性能、成本、制造效率和美观方面进行细致入微的考虑。 Materials.AI 帮助工程师考虑多因素，做出快速、明智的决策。“材料选择是我们工程和设计过程中的一个关键因素，”贝内特奖设计总监 Ryan Rivas 说道。...

Beulah Louise Henry 是二十世纪一位多产的发明家，获得了 49 项美国专利，创造了 100 多项发明。 在她的工作中，她专注于通过具有成本效益且易于生产的设计来解决日常生活问题。 在这个国家发明家日，让我们探索亨利的早年生活，看看她的一些著名发明，这些发明极大地改进了打字机、玩具和纺织工作。 始终以效率和便利为设计理念 小时候，比尤拉·路易丝·亨利 (Beulah Louise Henry) 注意到一名男子走路时阅读报纸和搬运杂货很吃力。 这启发她制作了一个原型 带有固定纸张附件的皮带。 虽然这个特殊的原型没有进入大众市场，但它预示了亨利后来的工作：让日常生活变得更轻松的发明。 1909年，她在北卡罗来纳州夏洛特的伊丽莎白学院开始了她的高等教育之旅。 她在此期间提交了第一个专利，并于 1912 年，即她毕业的那一年，获得了第一个专利。 真空密封冰淇淋机。 这台机器使用最少的冰（当时是一种商品，因为没有家用冰柜），并且兼作饮水机。 北卡罗来纳州伊丽莎白学院。 该媒体文件在美国属于公共领域。 这适用于版权已过期的美国作品，通常是因为其首次出版发生在 1929 年 1 月 1 日之前，如果不是则由于缺乏通知或续展。 图片来自 维基共享资源。 复写本，无需污迹 在开发出冰淇淋冰箱后，亨利继续开发了更多发明，包括带有遮阳伞的遮阳伞 可互换的卡扣式盖 和一个 毛绒动物弹簧芯结构 这使得它们即使在比赛结束后也能恢复到原来的形状。 然而，亨利的第一项给工作世界带来重大进步的发明与打字机技术有关。 在工作时，如果打字员想要复印一份文件，他们必须在打字时使用复写纸。 这产生了一份原始文档和一些灰度副本。 然而，这个过程很混乱，打字员的手上都留下了黑色污迹。...